Integrador e diferenciador

Integrador e diferenciador

O circuito da Figura 01 abaixo é o circuito do tópico Filtro RC. A tensão de saída é

v_o = R i = R I_p sen ωt = R { V_p / √ [ R² + (1/ωC)² ] } sen ωt #A.1#, de acordo com igualdades deduzidas no mesmo tópico. Simplificando,

Fig 01

v_o = V_p / √ [ 1 + (1/RωC)² ] sen ωt #A.2#.

Supõe-se agora que a freqüência (e, portanto, a velocidade angular ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é pequeno,

RωC << style="color: orangered;">#B.1#.


Nessa condição, a igualdade anterior (#A.2#) pode ser escrita na forma aproximada

v_o ≈ V_p RωC sen ωt #B.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #C.1#.

Considerando a hipótese #B.1#, φ ≈ − π/2 #C.2#.

A tensão de entrada é v_i = V_p sen(ωt + φ) #C.3#.

v_i = V_p sen(ωt − π/2) = V_p cos ωt #C.4#.

Se tomada a derivada de v_i em relação ao tempo, o resultado é

dv_i/dt = − V_p ω sen ωt #C.5#.

Da igualdade anterior #B.2#, conclui-se facilmente que

v_o ≈ − RC dv_i/dt #D.1#.

Ou seja, na aproximação considerada, o circuito atua como um diferenciador.


Analisa-se agora a tensão no capacitor v_C.

Da relação básica do capacitor, a carga elétrica é q = C v_C. Mas a corrente é dada por i = dq/dt. Portanto,

i = C dv_C/dt #E.1#.

A tensão é obtida pela integração da expressão acima:

v_C = ∫ (1/C) i dt = (1/C) ∫ i dt = (1/C) ∫ I_p sen ωt dt = − ( I_p / ωC ) cos ωt #E.2#.

Segundo #E.2# do tópico Filtro RC,

I_p = V_p / √ [ R² + (1/ωC)² ].

Substituindo esse valor de I_p em #E.2# deste tópico,

v_C = − { V_p / √ [R² + (1/ωC)²] / ωC } cos ωt = − { V_p / R √ [1 + (1/RωC)²] / ωC } cos ωt #E.3#.

Neste caso, supõe-se que a freqüência (e, portanto, ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é muito grande,

RωC >> 1 #F.1#.

E a igualdade anterior é escrita de forma aproximada:

v_C ≈ − [ V_p / (RωC) ] cos ωt #F.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #G.1#.

Portanto, na hipótese #F.1#, φ ≈ 0 #G.2#.

Pela definição de tensão alternada, a tensão de entrada é

v_i = V_p sen(ωt + φ) ≈ V_p sen ωt porque φ ≈ 0 #G.3#.

Da igualdade anterior #F.2#, pode-se concluir que, neste caso, vale

v_C ≈ (1/RC) ∫ v_i dt #H.1#.

Portanto, o circuito funciona como um integrador nas condições mencionadas, para tensão de saída tomada sobre o capacitor.

Filtro RL e RC

Filtro RL

No circuito da Figura 01, a série RL é alimentada com uma tensão supostamente senoidal v_i. Deseja-se saber a tensão sobre o resistor v_o em função da tensão de entrada e dos valores R e L.

De acordo com a lei das tensões de Kirchhoff,

v_i = v_R + v_L = R i + L di/dt #A.1#.

Se a tensão de entrada v_i é senoidal, a corrente i também deve ser, Assim, ela tem a formulação:

i = I_p sen ωt. E a derivada em relação ao tempo é di/dt = ω I_p cos ωt.Substituindo em #A.1#,

Fig 01

v_i = R I_p sen ωt + ω L I_p cos ωt #B.1#.

Mas v_i é a tensão alternada de uma fonte senoidal. Portanto,

v_i = V_p sen(ωt + φ) #B.2#, onde φ é o ângulo de fase entre tensão e corrente.

Usando relações trigonométricas,

v_i = V_p cos φ sen ωt + V_p sen φ cos ωt #C.1#.

Substituindo em #B.1#,

R I_p sen ωt + ω L I_p cos ωt = V_p cos φ sen ωt + V_p sen φ cos ωt #C.2#.

Pode-se supor que os coeficientes de sen ωt e de cos ωt são iguais para ambos os lados. Então,

R I_p = V_p cos φ #D.1#.

ω L I_p = V_p sen φ #D.2#. Dividindo ambas, tan φ = ω L / R #D.3#.

Elevando #D.1# ao quadrado e reagrupando, V_p² = R² I_p² / cos²φ #E.1#.

Agora, é aplicada a igualdade trigonométrica 1 + tan²φ = 1 / cos²φ #E.2#. Substituindo em #E.1#,

V_p² = R² I_p² (1 + tan²φ) = R² I_p² ( 1 + ω² L² / R² ) = I_p² (R² + ω² L²). Ou

V_p = I_p √ (R² + ω² L²) #E.3# Substituindo em #B.2#,.

v_i = I_p √ (R² + ω² L²) sen(ωt + φ) #F.1#, onde tan φ = ω L / R #F.2#.

Fig 02

A tensão de saída é a tensão no resistor

v_o = v_R= R i = R I_p sen ωt #G.1#.

Portanto, o valor de pico da tensão de saída é

V_op = R I_p #G.2#.

Para a entrada, conforme #F.1#,

V_ip = I_p √ (R² + ω² L²) #G.3#.

E a relação entre ambas é

V_op / V_ip = 1 / √ [ 1 + (ω L/ R)² ] #H.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

V_op / V_ip = 1 / √ [ 1 + (2 π f L/ R)² ] #H.2#.

O gráfico da Figura 02 dá exemplo típico da variação de V_op / V_ip com a freqüência f de acordo com a igualdade anterior (demais parâmetros, L e R, foram arbitrados). A característica notável é a diminuição da tensão de saída com o aumento da freqüência. Por isso, o circuito é também denominado filtro passa-baixas.

Filtro RC

No circuito da Figura 01 deste tópico, há um capacitor em série com um resistor. É alimentado por uma fonte de corrente alternada senoidal v_i e a tensão de saída v_o é a tensão no resistor.

v_i = V_p sen(ωt + φ) #A.1#.

Conforme a lei das tensões de Kirchhoff, a soma das tensões em um laço é nula. Assim, a tensão da fonte deve ser igual à tensão no resistor mais a tensão no capacitor.

Das relações de eletricidade, para o capacitor: q = C v, onde q é a carga elétrica e C a capacitância.

Portanto, v_i = q/C + R i. Ou V_p sen(ωt + φ) = q/C + R i #A.2#.

Derivando em relação ao tempo t e lembrando que a corrente é dada por i = dq/dt,

Fig 01

ω V_p cos(ωt + φ) = R di/dt + (1/C) i #A.3#.

Para a corrente alternada,

i = I_p sen ωt #B.1#.

Portanto, di/dt = ω I_p cos ωt #B.2#. Substituindo esse valor em #A.3#,


ω V_p cos(ωt + φ) = R ω I_p cos ωt + (I_p/C) sen ωt #B.3#.

Usa-se agora a identidade trigonométrica

cos(ωt + φ) = cos ωt cos φ − sen ωt sen φ #C.1#. Substituindo,

ω V_p cos ωt cos φ − ω V_p sen ωt sen φ = R ω I_p cos ωt + (I_p/C) sen ωt.

(ω V_p cos φ − R ω I_p) cos ωt − [ω V_p sen φ + (I_p/C)] sen ωt = 0 #D.1#.

Para ωt = 0, cos ωt = 1 e sen ωt = 0. Assim,

ω V_p cos φ = R ω I_p #D.2#.

Para ωt = π/2, cos ωt = 0 e sen ωt = 1. Assim,

ω V_p sen φ = − (I_p/C) #D.3#.

Dividindo as igualdades,

sen φ / cos φ = − (I_p/C) / R ω I_p. Portanto, tan φ = − 1 / (R ω C) #D.4#.

Simplificando e elevando ao quadrado a igualdade #D.2#,

V_p² cos²φ = R² I_p² #D.5#.

Usando a identidade trigonométrica cos²φ = 1 / (1 + tan²φ) #E.1# e substituindo em #D.5#,

Fig 02

V_p² / [ 1 + (1/R ω C)² ] = R² I_p².

I_p² = V_p² / [ R² + (1/ωC)² ].

I_p = V_p / √ [ R² + (1/ωC)² ] #E.2#. Ou

V_p = I_p √ [ R² + (1/ωC)² ] #E.3#.

Substituindo esse valor em #A.1#,

v_i = { I_p √ [R² + (1/ωC)²] } sen(ωt + φ) #F.1#.

A tensão da saída é v_o = v_R = R i = R I_p sen ωt #F.2#.

Dividindo os valores de pico de #F.1# e #F.2#,

V_op / V_ip = 1 / √ [ 1 + (1/RωC)² ] #G.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

V_op / V_ip = 1 / √ [ 1 + (1/R 2 π f C)² ] #G.2#.

A Figura 02 dá um gráfico típico da variação de V_op / V_ip com a freqüência e demais parâmetros (R e C) arbitrados. O circuito atenua as freqüências mais baixas e, por isso, é também denominado filtro passa-altas.

Reatâncias

Reatância capacitiva

No circuito da Figura 01, uma tensão supostamente senoidal é aplicada a um capacitor C. Segundo relações básicas da eletricidade, a carga elétrica q de um capacitor é igual ao produto da sua capacitância C pela tensão entre os terminais:

Fig 01

q = C v #A.1#. Derivando em relação ao tempo,

dq/dt = C dv/dt. Mas dq/dt = i (corrente).

i = C dv/dt #A.2#.

Se a tensão aplicada é v(t) = V_p sen ωt #B.1#,

i = C d(V_p sen ωt)/dt = ω C V_p cos ωt.

Considerando a igualdade trigonométrica, cos x = sen(x + π/2),

i = ω C V_p sen(ωt + π/2) #C.1#.

Comparando a igualdade acima com #B.1#, conclui-se que, no capacitor, a corrente é adiantada de π/2 (90°) em relação à tensão.

Também da relação #C.1#, a corrente de pico é I_p = ω C V_p ou V_p = (1 / ωC) I_p.

O termo (1 / ωC) tem dimensão de resistência e é denominado reatância capacitiva X_C do capacitor. Portanto,

X_C = 1 / ωC #D.1#.

E a relação anterior para valores de pico é V_p = X_C I_p #D.2#.

Reatância indutiva

No caso do indutor (Figura 01 deste tópico), a relação básica é tensão proporcional à variação da corrente com o tempo. O fator de proporcionalidade é a indutância L.

Fig 01

v = L di/dt #A.1#.

Considera-se a aplicação de uma corrente com ângulo de fase −π/2, isto é,

i(t) = I_p sen(ωt − π/2) #B.1#.

v = L d[ I_p sen(ωt − π/2) ]/dt = ω L I_p cos(ωt − π/2).

Considerando a igualdade trigonométrica, cos x = sen(x + π/2),

v = ω L I_p sen ωt #C.1#.

Da relação acima e de #B.1#, pode-se concluir que, no indutor, a corrente é atrasada de π/2 (90°) em relação à tensão.

A reatância indutiva X_L é uma grandeza de dimensão de resistência e é definida por

X_L = ω L #D.1#.

E os valores de pico são relacionados por V_p = X_L I_p #D.2#.

Potência em corrente alternada

Potência em corrente alternada

Para uma carga qualquer sob tensão alternada conforme circuito simples da Figura 01, deve-se considerar, no caso mais genérico, uma diferença de fase não nula φ entre tensão e corrente.

Fig 01

i(t) = I_p sen(ωt) #A.1#.

v(t) = V_p sen(ωt + φ) #A.2#.

A potência instantânea é o produto de ambas:

P(t) = v i = V_p I_p sen(ωt) sen(ωt + φ) #B.1#.

Calcula-se agora a potência média P para um período (T) da senóide:

P = (1/T) ∫_0,T P(t) dt = (1/T) ∫_0,T v i dt = (1/T) (V_p I_p) ∫_0,T sen(ωt) sen(ωt + φ) dt.

Usando a igualdade trigonométrica sen(ωt + φ) = sen(ωt) cos(φ) + sen(φ) cos(ωt),

P = (1/T) (V_p I_p) [ cos(φ) ∫_0,T sen²(ωt) dt + sen(φ) ∫_0,T sen(ωt) cos(ωt) dt ] #B.2#.

Da página anterior, tópico Valor eficaz, pode ser visto o resultado da integral

∫_0,T sen²(ωt) dt = π / ω #C.1#.

Para a segunda integral, é usada a identidade trigonométrica

sen(ωt) cos(ωt) = (1/2) sen (ωt + ωt) + (1/2) sen(ωt − ωt) = (1/2) sen(2ωt).

Lembrando também que T = 2 π / ω.

∫_0,T sen(ωt) cos(ωt) dt = (1/2) ∫_0,T sen(2ωt) dt = (1/2) [ cos(2ωt) / 2ω ]_0,T = 0 #C.2#.

Substituindo os resultados das integrais na igualdade #B.2#,

P = (ω / 2 π) (V_p I_p) [ cos(φ) (π/ω) + sen(φ) 0 ].

P = (1/2) V_p I_p cos φ #D.1#.

Da página anterior, tensão e corrente eficazes são dados por:

Tensão: V_ef = V_p / √2.

Corrente: I_ef = I_p / √2.

Isolando os valores de pico e substituindo na anterior,

P = V_ef I_ef cos φ #D.2#

O co-seno do ângulo de defasagem entre tensão e corrente, cos φ, é denominado fator de potência da carga. Portanto, a potência dissipada em corrente alternada pode inclusive ser nula se a diferença de fase é π/2 (cos φ = 0).

O resultado #D.2# mostra outra conveniência do uso de valores eficazes de tensão e corrente: não há necessidade da divisão por 2 de #D.1#. A relação fica similar à fórmula para corrente contínua, com o acréscimo do fator de potência.

Vale notar que, se a carga é um resistor R, a tensão é simplesmente v(t) = R i(t). Não há diferença de fase e cos φ = 1. Assim, a potência é o produto da tensão eficaz pela corrente eficaz.

Equação geral da corrente senoidal

Equação geral da corrente senoidal

A característica básica de uma corrente alternada é a sua variação, normalmente periódica, com o tempo.

No circuito simples da Figura 01, uma fonte de corrente alternada CA alimenta uma carga genérica (são também usuais as iniciais inglesas AC).

Assim, a tensão e a corrente na carga são funções do tempo, v(t) e i(t) respectivamente (é também usual a notação com dispensa da indicação do tempo, ou seja, v e i simplesmente).

Fig 01

Em circuitos de corrente contínua, é comum simbolizar a carga com um resistor. No caso de CA, dispositivos que armazenam energia como capacitores e indutores têm comportamentos distintos.

No circuito da figura, o símbolo indica uma carga genérica, podendo ser qualquer combinação de resistores, capacitores e indutores.

A corrente alternada mais simples (e usada na prática) é denominada senoidal porque é expressa matematicamente pela função seno.

Fig 02

Em (a) da Figura 02, o gráfico padrão da função sen x para o intervalo 0 < style="color:blue;">sen(x + φ) #A.1#.

Onde φ é o ângulo de fase. Representa um deslocamento angular em relação à origem. Assim, em (a) da figura ocorre φ = 0 e, em (b) da mesma figura, φ > 0.

Segundo relações trigonométricas, cos x = sen (π/2 − x) #B.1#.

Conclui-se, portanto, que a corrente alternada também pode ser representada pela função co-seno. Nesta série de páginas, ambas as funções podem ser usadas.

Fig 03

Para a adequada representação de tensão e corrente senoidais, segundo a formulação básica do movimento periódico, o ângulo x das igualdades anteriores deve ser igual à velocidade angular (ω) multiplicada pelo tempo (t).

E a função seno (que só varia entre −1 e +1) deve ser multiplicada por um valor indicativo da amplitude ou valor de pico.

Quanto ao ângulo de fase, é comum considerar zero para uma grandeza (tensão, por exemplo) e φ para a outra. Assim, o ângulo φ é a diferença de fase entre corrente e tensão.

Portanto, tensão e corrente senoidais podem ser escritas conforme equações abaixo.

Tensão

v = Vp sen(ωt) #C.1#

Corrente

i = Ip sen(ωt + φ) #C.2#

v, i: valores instantâneos. Equivalem às notações v(t) e i(t) respectivamente.
V_p, I_p: valores de pico.
ω: velocidade angular (unidade SI: rad/s).
t: tempo (s).
φ: ângulo de fase (rad).

A freqüência (f) é relacionada com a velocidade angular (ω) pela igualdade

ω = 2 π f #D.1#. Unidade SI da freqüência: hertz Hz, equivalente a 1/s.

O período T é o tempo para um ciclo completo, ou seja, ωT = 2 π. Portanto,

T = 2 π / ω = 1 / f #D.1#.

Valor eficaz

À primeira vista, pode-se imaginar que a corrente ou tensão em um circuito de corrente alternada são adequadamente especificadas pelos seus valores de pico e demais parâmetros conforme fórmulas do tópico anterior. Entretanto, em muitos casos, é mais interessante uma referência para comparação com corrente contínua.

Em (a) e em (b) da Figura 01, o mesmo resistor R é alimentado com corrente alternada e com corrente contínua, respectivamente.

Para o circuito CC, a potência dissipada é P = R I_CC² #A.1#

Fig 01

Na corrente alternada, a fórmula acima indica a potência instantânea, que é evidentemente variável. Assim, para efeito de comparação, deve ser tomado um valor médio ao longo de um ciclo (tempo igual a um período T), pois esse se repete.

Matematicamente, o valor médio de uma função f(x) é dada pela relação clássica

f(x)_med = [ 1 / (b − a) ] ∫_a,b f(x) dx #B.1#.

Considerando ângulo de fase nulo (isso não altera o resultado), a = 0 e b = T, a potência média dissipada pelo resistor R em (a) da figura é


P_med = (1/T) ∫_0,T R I_p² sen²ωt dt. Considerando a fórmula ∫ sen²x dx = −(1/4) sen 2x + (1/2) x + C e a relação T = 2 π / ω,

P_med = (ω/2 π) R I_p² (1/ω) [ −(1/4) sen 4 π + (1/2) 2 π ] = (1/2) R I_p² #C.1#.

O valor eficaz I_ef de uma corrente alternada é o valor da corrente contínua que produz a mesma potência em R. Portanto, ele pode ser obtido em função de I_p com a substituição, em #A.1#, de I_CC por I_ef e posterior igualdade com #C.1#.

Da relação de potência P = V² / R e com procedimento similar, é possível obter o valor eficaz para a tensão. O resultado final para ambas é

Tensão eficaz Vef = Vp / √2 #D.1#

Corrente eficaz Ief = Ip / √2 #D.2#

Esses valores são também denominados rms (root mean square). É praxe a especificação de tensões e correntes alternadas em termos de valores eficazes. A maioria dos voltímetros e amperímetros para corrente alternada indica valores em rms. Entretanto, instrumentos comuns só indicam rms correto para tensões ou correntes senoidais. Para outras formas devem ser usados tipos mais sofisticados, conhecidos como true-rms.