Capacitor para correção do fator de potência

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No exemplo da página anterior, a transferência de potência ativa é prejudicada pela ação de cargas reativas, isto é, indutores e/ou capacitores.

Na mesma página pode ser visto que o fator de potência é um parâmetro conveniente para avaliar essa transferência porque é dado pela razão entre a potência ativa e a potência aparente. Equivale ao co-seno do ângulo de defasagem entre tensão e corrente. Assim, o seu valor absoluto é sempre menor ou igual a 1. Fator de potência unitário significa potência reativa nula e, portanto, máxima transferência entre fonte e carga.

Nas instalações práticas, a maioria das cargas reativas são indutivas (motores, transformadores). Cargas capacitivas podem ocorrer em casos especiais. Portanto, o que se procura normalmente é um capacitor para contrabalançar a reatância indutiva da carga e, com isso, elevar o fator de potência para 1 ou valor próximo.

A Figura 01 mostra uma situação típica de duas cargas reativas. É comum a especificação das mesmas pela potência ativa e fator de potência (além da tensão, é claro). Supõe-se que sejam dados:

Fig 01

V_ef = 500 V.
Velocidade angular ω = 377 rad/s ou f ≈ 60 Hz.

P₁ = 48 kW.
cos φ₁ = 0,60 (indutivo).

P₂ = 24 kW.
cos φ₂ = 0,96 (capacitivo).

Com esses dados, deseja-se determinar o capacitor C para que o fator de potência resultante seja unitário.

Inicialmente considera-se que não há o capacitor C no circuito. Nessa condição, a potência complexa do conjunto das duas cargas, S₁₂, é igual à soma das potências de cada. Desde que se trata de números complexos, as partes reais (P) e imaginárias (Q) devem ser somadas.

Fig 02

|S₁| = P₁ / |cos φ₁| = 48 / 0,60 = 80 kVA.

Q₁ = √ (|S₁|² - P₁²) = √ (80² - 48²) = 64 kVAR.

|S₂| = P₂ / |cos φ₂| = 24 / 0,96 = 25 kVA.

Q₂ = √ (|S₂|² - P₂²) = √ (25² - 24²) = −7 kVAR.

A potência reativa Q₂ deve ter sinal negativo porque a carga 2 é capacitiva conforme dados iniciais.

P₁₂ = P₁ + P₂ = 48 + 24 = 72 kW.

Q₁₂ = Q₁ + Q₂ = 64 - 7 = 57 kVAR.

|S₁₂| = √ (P₁₂² + Q₁₂²) ≈ 91,8 KVA.

Portanto, o fator de potência do conjunto é dado por

cos φ₁₂ = P₁₂ / |S₁₂| = 72 / 91,8 ≈ 0,784.

Uma representação gráfica aproximada e sem escala é exibida na Figura 02 (a).

Para tornar unitário o fator de potência do conjunto, a potência reativa Q_C do capacitor C deve ser o negativo da potência reativa Q₁₂ do conjunto das duas cargas:

Q_C = − Q₁₂ = − 57 kVAR. Ver Figura 02 (b) e (c). Assim, o capacitor fica dimensionado em termos de potência reativa, o que é comercialmente usual para esses casos.

Fig 03

A corrente do capacitor I_C pode ser determinada por:

I_{C_ef} = − Q_C / V_ef = 57000 / 500 = 114 A.

Do conceito de impedância, V = Z I. Para o capacitor, Z = X_C = 1 / ωC. Portanto,

500 = (1 / 377 C) 114. Ou seja, C ≈ 605 μF.

Para trabalhar com fasores, deve ser usada a notação complexa. Considera-se:

V_ef = 500 + j 0.

As potências complexas nas cargas são formuladas com uso de valores já calculados:

S₁ = P₁ + j Q₁ = 48000 + j 64000.

S₂ = P₂ + j Q₂ = 24000 − j 7000.

Da definição de potência complexa, S = V_ef I_ef*, os valores das correntes são:

I_{1_ef}* = (48000 + j 64000) / (500 + j 0) = 96 + j 128.

I_{1_ef} = 96 − j 128.

I_{2_ef}* = (24000 − j 7000) / (500 + j 0) = 48 − j 14.

I_{2_ef} = 48 + j 14.

A corrente I₁₂ é a soma de ambas:

I_{12_ef} = I_{1_ef} + I_{2_ef} = 144 − j 114. Graficamente essa soma é dada, sem escalas, na Figura 03 (a).

Para fator de potência unitário, deve-se anular a parte complexa de I₁₂. Portanto, a corrente no capacitor deve ser:

I_C = 0 + j 114. E o resultado pode ser visto, de forma aproximada e sem escalas, na Figura 03 (b).

Máxima transferência de potência

No tópico anterior, foi dado um exemplo de cálculo da potência ativa transmitida da fonte para a carga. Neste tópico, considera-se uma situação genérica conforme Figura 01:

Uma fonte ideal V_s em série com uma impedância Z_s, que alimenta uma carga de impedância Z.

Fig 01

Em módulo, a corrente é dada por

I_ef = V_{s ef} / |Z_s + Z|.

A potência ativa na carga é

P = I_ef² R = R V_{s ef}² / |Z_s + Z|² #A.1#.


As impedâncias complexas são,

Z_s = R_s + j X_s #A.2#.

Z = R + j X #A.3#.

A soma delas é dada por

Z_s + Z = (R_s + R) + j (X_s + X).

E o módulo da soma é

|Z_s + Z|² = (R_s + R)² + (X_s + X)².

Substituindo na igualdade #A.1#,

P = R V_{s ef}² / [ (R_s + R)² + (X_s + X )²] #B.1#.

Para determinar o máximo valor dessa potência em relação aos parâmetros de resistências e reatâncias, deve-se usar derivadas parciais para cada e igualar a zero. Mas, no caso das reatâncias, desde que elas podem ser negativas, nota-se facilmente que o valor máximo ocorre com

Fig 02

(X_s + X) = 0 ou

X_s = − X #B.2#.

No caso das resistências, precisa-se desenvolver as derivadas porque elas não podem ser negativas.

A igualdade #B.1# pode ser reagrupada para

P = V_{s ef}² / [ (1/R) (R_s + R)² + (1/R) (X_s + X )²].

Desde que o valor máximo é procurado, pode-se considerar a condição #B.2# e a relação fica reduzida a

P' = V_{s ef}² / [R_s²/R + 2 R_s + R], que deve ser máximo.

Pode-se derivar toda a expressão acima. Entretanto, é mais fácil usar apenas o denominador, que deve ser mínimo para valor máximo de P, isto é,

[R_s²/R + 2 R_s + R] #C.1# deve ser mínimo.

Neste caso, a derivada deve ser nula.

∂ [R_s²/R + 2 R_s + R] / ∂R = −R_s²/R² + 1 = 0.

A solução dessa equação é

R = ± R_s.

Para saber qual solução indica valor mínimo, deve-se usar a segunda derivada

∂² [R_s²/R + 2 R_s + R] / ∂R² = 2 R_s²/R³.

Ela deve ser positiva para valor mínimo, o que confirma a realidade física, porque resistências não são negativas.

Se #C.1# é mínimo, a potência é máxima com

R = R_s #C.2#.

Aplicando as condições #B.2# e #C.2# às igualdades #A.2# e #A.3#, conclui-se facilmente que, para máxima transferência de potência, a impedância da carga deve ser igual ao conjugado complexo da impedância da fonte:

Z = Z_s* #D.1#.

Aplicando essa condição a #A.1#, o valor da potência máxima transferida é

P_max = V_{s ef}² / (4 R) #D.2#. Com R = R_s.

Na prática pode-se dizer que, na condição de máxima transferência de potência, o circuito da Figura 01 deve ser equivalente ao da Figura 02 com R_s = R e X_s = − X. Uma reatância deve ser capacitiva e a outra, indutiva devido à oposição de sinais. E isso forma um circuito ressonante em série, tema que é tratado em páginas posteriores.