Circuito RLC série - Fator de qualidade e largura de banda

No tópico anterior, foi desenvolvida a fórmula da freqüência ressonância de um circuito RLC série:

f₀ = 1 / [ 2 π √ (LC) ] #A.1#.

No trabalho com fórmulas, elas ficam mais simples com o uso da velocidade angular de ressonância em vez de freqüência:

Fig 01

ω₀ = 1 / √ LC #A.2#.

Por isso, aqui é adotado esse parâmetro, lembrando que a relação com a freqüência é a simples proporção

ω₀ = 2 π f₀.

Nota-se que o valor da velocidade angular de ressonância não depende da resistência R. Mas isso não significa que outras características do circuito sejam desconexas do valor de R.

O fator de qualidade Q de um circuito RLC série é a relação entre a reatância indutiva de ressonância e o valor da resistência:

Q = X_L0 / R = ω₀ L / R = (1/R) √ (L/C) #B.1#.

A Figura 01 mostra curvas da variação da intensidade de corrente com a freqüência nas proximidades da ressonância para valores de R distintos (mantidos os demais parâmetros) de modo a resultar em valores de Q diferentes. Quanto maior o valor de R (menor Q), mais achatada é a curva.

Por atenuarem sinais que se afastam da ressonância, circuitos deste tipo são amplamente empregados quando se deseja uma separação ou seleção de sinais, como sintonizadores e filtros. Portanto, o fator Q é uma medida da seletividade do circuito e o seu valor deve ser definido de acordo com a aplicação.

Fig 02

Na realidade, o fator Q está ligado à largura de banda B (bandwidth, em inglês) do circuito, que é definida pela faixa de freqüências cuja potência é maior ou igual à metade da potência máxima, que, por sua vez, é a potência dissipada na freqüência de ressonância.

A Figura 02 dá uma curva típica de um circuito RLC conforme equação da corrente vista em página anterior. Trabalha-se com velocidade angular ω em vez de freqüência f para simplificar as fórmulas conforme já mencionado.

A corrente máxima é a da ressonância I₀ = V_p / R porque, nessa situação, a impedância é puramente resistiva.

Desde que a potência é proporcional ao quadrado da corrente, metade da potência máxima equivale á máxima corrente dividida por √ 2. Então, a largura de banda é definida pelos valores ω₁ e ω₂ tais que

I₁ = I₂ = I₀/ √ 2 = V_p / (R √ 2).

De acordo com #C.1# da página anterior,

I_p = V_p / √ [ R² + (ωL − 1/ωC)² ].

Substituindo o valor anterior da corrente,

V_p / √ [R² + (ωL − 1/ωC)²] = V_p / (R √ 2) = V_p / √ (2 R²). Simplificando,

(ωL − 1/ωC)² = R². A solução dessa equação é simples e aqui não é desenvolvida. Notar, entretanto, que ela admite 4 soluções e que se deve desprezar as de valores negativos porque não têm sentido prático. O resultado final é

ω_2,1 = √ [ (R/2L)² + (1/LC) ] ± (R/2L) #C.1#.

Portanto, a largura de banda é dada por

B = ω₂ − ω₁ = R / L #D.1#.

Combinando a igualdade acima com #B.1#, chega-se à fórmula do fator de qualidade em função da velocidade angular de ressonância e da largura de banda:

Q = ω₀ / B #E.1#.

Circuito básico RLC paralelo

No circuito RLC série visto em página anterior, supõe-se implicitamente uma fonte de tensão de referência e calcula-se a corrente circulante. No arranjo paralelo básico da Figura 01, é suposta uma corrente de referência fornecida pela fonte e o comportamento da tensão V é o parâmetro a determinar.

Desde que os elementos estão em paralelo, a impedância resultante é calculada de forma idêntica à de uma associação paralela de resistências.

1/Z = A = 1/R + 1/(jωL) + 1/(−j/ωC).

A = 1/R + j (ωC − 1/ωL). O módulo da A é dado por:

Fig 01

A = √ [ (1/R)² + (ωC − 1/ωL)² ].

E o ângulo

φ_A = tan⁻¹ [ (ωC − 1/ωL)/(1/R) ].

φ_A = tan⁻¹ [ R (ωC − 1/ωL) ].

Sendo Z o inverso de A, na forma exponencial ocorre

Z = 1/A = (1/A) e^j(−φA⁾. Então, o módulo da impedância é

Z = 1 / √ [ (1/R)² + (ωC - 1/ωL)² ] #A.1#.

E o ângulo de defasagem φ = − tan⁻¹ [ R (ωC − 1/ωL) ] #A.2#.

Fig 02

Da relação V = Z I, obtém-se a tensão de pico em termos da corrente de pico da fonte

V_p = I_p / √ [ (1/R)² + (ωC − 1/ωL)² ] #B.1#.

Portanto, a tensão é máxima quando (ωC − 1/ωL) é nulo, isto é, o circuito se encontra em ressonância (ver gráfico da Figura 02).

Da igualdade (ωC − 1/ωL) = 0 é deduzida a velocidade angular de ressonância:

ω₀ = 1 / √ LC #B.2#.

Notar que é a mesma fórmula do circuito RLC série. E a freqüência de ressonância é

f₀ = ω₀ / 2 π = 1 / (2 π √ LC) #C.1#.

Os mesmos conceitos de largura de banda e fator de qualidade, vistos no tópico anterior para o circuito em série, são aplicáveis. O desenvolvimento matemático é similar e aqui não é dado. Os resultados são:

ω_2,1 = √ [ (1/2RC)² + (1/LC) ] ± (1/2RC) #D.1#.

Largura de banda B = ω₂ − ω₁ = 1/RC #E.1#.

Fator de qualidade Q = ω₀ / B = R √ (C/L) #F.1#.

Circuitos RLC - Introdução

Circuitos formados pela combinação, em série ou em paralelo, de resistor, indutor e capacitor apresentam a peculiaridade da ressonância e, por isso, têm importantes aplicações práticas. Na sua análise, pode-se resumir as impedâncias de cada componente conforme conceitos e deduções vistas em páginas anteriores:

• A impedância do resistor é dada por R, isto é, a sua resistência. Um número real, portanto.

• A impedância do indutor é dada por j ω L, onde j é a unidade imaginária (√ −1), ω é a velocidade angular e L a sua indutância. É, portanto, um número imaginário puro. A expressão ω L é denominada reatância indutiva (X_L).

• A impedância do capacitor é dada por − j / (ω C), onde j e ω são conforme item anterior e C é a sua capacitância. É também um número imaginário puro. A expressão 1 / ω C é denominada reatância capacitiva (X_C).

Com a associação desses componentes em série ou em paralelo, pode-se calcular a impedância equivalente, que deve ser um número complexo, isto é, formado por uma parte real e outra imaginária.

O parâmetro ω (velocidade angular) é empregado por razões de simplicidade. Nas especificações práticas de correntes alternadas, é usada quase sempre a freqüência f, que pode ser convertida pela simples relação ω = 2 π f.

Circuito RLC série

Este circuito pode ser analisado pela aplicação da segunda lei de Kirchhoff:

v = Ri + L di/dt + q/C.

Deve-se, portanto, procurar uma solução para a equação acima.

Fig 01

Mas a equação diferencial demanda sempre algum trabalho para resolver.

Com o conceito de impedância complexa, somam-se simplesmente as impedâncias de cada componente, como se fosse uma associação em série de resistores.

Z = R + j ω L − j / ω C = R + j (ω L − 1 / ω C) #A.1#.

Pode-se também escrever

Z = R + j (X_L − X_C) #A.2#, considerando as identidades já vistas nesta página e em páginas anteriores:

X_L = ωL.
X_C = 1/ωC.

Graficamente, a impedância é representada conforme Figura 02.

Fig 02

O módulo de Z é dado por:

Z = √ (R² + X²) = √ [ R² + (ωL − 1/ωC)² ] #B.1#.

E o ângulo de defasagem é

φ = tan⁻¹ X/R = tan⁻¹ (ωL − 1/ωC) / R #B.2#.

Na forma exponencial, valem as igualdades já vistas em páginas anteriores:

Corrente I = I_p e^jωt.
Tensão V = V_p e^{j(ωt + φ)}.
Impedância Z = Z e^jφ.

Isso está perfeitamente de acordo com a igualdade básica da impedância, V = Z I, porque

Z I = Z I_p e^jωt e^jφ = Z I_p e^{j(ωt + φ)} = V_p e^{j(ωt + φ)} = V.

Portanto, I_p = V_p / Z = V_p / √ [ R² + (ωL − 1/ωC)² ] #C.1#.

Fórmula idêntica seria obtida pela resolução da equação diferencial do início deste tópico.

Volta-se agora à fórmula anterior (#B.1#) do módulo (ou valor absoluto) da impedância:

Fig 03

Z = √ [ R² + (ωL − 1/ωC)² ]. É suposto que os valores de R, L e C são constantes.

Se a freqüência (e, portanto, ω) é muito baixa, a impedância deve ser alta porque 1/ωC é alto. Se ela é muito alta, a impedância deve ser também alta, porque ωL é alto. E, naturalmente, deve haver um valor de ω para o qual a impedância é mínima, o que ocorre quando

ωL − 1/ωC = 0.

Nessa condição, a impedância é igual a R, ou seja, o circuito opera como se fosse apenas o resistor. É a denominada ressonância do circuito. A freqüência correspondente, isto é, a freqüência de ressonância, pode ser facilmente determinada pela igualdade anterior:

ωL − 1/ωC = 0 ou

ω₀ = 1 / √ (LC) #D.1#. Desde que ω = 2 π f,

f₀ = 1 / [ 2 π √ (LC) ] #D.2#.

Da relação entre tensão de pico e corrente de pico (#C.1#) conclui-se que, mantida a primeira constante, a variação da corrente ocorre de forma contrária à variação da impedância, ou seja, a corrente é máxima na ressonância. O gráfico da Figura 03 dá uma curva típica para o circuito.

Exemplo de cálculo: sejam os seguintes valores para o circuito:

v = 12 V.
R = 1,2 10² Ω.
C = 1,0 10⁻⁷ F.
L = 4,0 10⁻¹ H

De acordo com a fórmula anterior, a freqüência de ressonância é

f ≈ 796 Hz e a correspondente freqüência angular,

ω = 5000 rad/s.

E a corrente do circuito na ressonância é

I = V/R = 12 / 1,2 10² = 0,1 A.

A tensão no capacitor é o produto corrente x impedância:

V_C = I Z = I X_C = I (1/ωC) = 10⁻¹ / (5,0 10³ 1,0 10⁻⁷) = 200 V.

Analogamente no indutor:

V_L = I Z = I X_L = I ωL = 10⁻¹ 5,0 10³ 4,0 10⁻¹ = 200 V.

As duas tensões são idênticas e, como estão defasadas entre si de 90 − (−90) = 180º, anulam-se mutuamente.

Notar entretanto que, individualmente, a tensão no indutor e no capacitor é muitas vezes superior à tensão aplicada no circuito. Assim, esses componentes devem ser especificados para suportar essa tensão e as pessoas devem ter cuidado (e conhecimento) ao trabalhar com circuitos elétricos.