CORRENTE CONTÍNUA

Circuito e parâmetros básicos

Circuitos elétricos podem ser entendidos como aplicações práticas para os fenômenos da eletricidade, cujos conceitos básicos podem ser vistos na página Eletricidade I-10 e posteriores.

A Figura 01 deste tópico apresenta um circuito dos mais simples, que tem como finalidade a análise das grandezas elétricas fundamentais.

O gerador elétrico G é um dispositivo que usa energia de alguma forma (mecânica, química, etc) para aumentar o potencial elétrico das cargas elétricas que o atravessam. Assim, entre seus terminais (b e a), há uma diferença de potencial ou tensão elétrica V. Essa grandeza é definida pela relação entre o trabalho necessário para produzir a diferença de potencial e a carga elétrica.

A definição correta deve usar grandezas infinitesimais. Assim,

V = dW / dq #A.1#. Onde:

V: diferença de potencial (unidade no Sistema Internacional: volt, símbolo V).
W: trabalho (unidade SI: joule, símbolo J).
q: carga elétrica (unidade SI: coulomb, símbolo C).

A diferença de potencial produzida por geradores elétricos é comumente denominada força eletromotriz (fem).

Se os terminais do gerador estiverem conectados por um meio físico que permita o fluxo de cargas elétricas (condutor), haverá uma corrente elétrica circulando do terminal de maior potencial para o de menor.

Fig 01

A corrente elétrica é definida pela quantidade de cargas elétricas que percorrem o meio condutor por unidade de tempo, ou seja,

i = dq / dt #B.1#. Onde:

i: corrente elétrica (unidade SI: ampère A).
q: carga elétrica (unidade SI: coulomb C).
t: tempo (unidade SI: segundo s).

A corrente elétrica não é uma grandeza vetorial, como pode ser visto da definição acima. Entretanto, em circuitos, é usual a indicação com uma seta no sentido convencional, isto é, o sentido deslocamento de cargas elétricas positivas.

Se o sentido da corrente elétrica é sempre o mesmo, ela é denominada corrente contínua. É usual o emprego da sigla CC (ou DC, do inglês). Caso contrário, é denominada corrente alternada (CA ou AC, do inglês).

Se um meio condutor não oferece nenhuma oposição à passagem de cargas elétricas (condutor ideal), não pode haver diferença de potencial entre dois pontos seus, uma vez que nenhum trabalho é necessário para movimentar as cargas.

Nos circuitos, linhas contínuas indicam condutores ideais. Portanto, na Figura 01, os pontos b e c têm o mesmo potencial elétrico, bem como os pontos d e a (é claro que condutores ideais não existem na prática, mas, em muitos casos, a oposição é tão pequena que eles podem ser assim considerados).

Um dispositivo que oferece oposição à passagem de cargas elétricas provoca uma redução de potencial elétrico na direção da corrente elétrica que o percorre. No circuito em estudo, isso é dado pelo dispositivo entre os pontos c e d (também denominado carga do gerador). Desde que está diretamente conectado aos terminais do gerador, conclui-se que esse dispositivo produz uma queda de potencial igual à força eletromotriz do gerador.

A grandeza relacionada com a oposição à passagem de corrente elétrica é denominada resistência elétrica, que é definida por:

R = V / i #C.1#. Onde:

R: resistência elétrica (unidade SI: ohm Ω).
V: tensão elétrica (unidade SI: volt V).
i: corrente elétrica (unidade SI: ampère A).

Fig 02

Potência em circuitos elétricos

Na Figura 01, W₁ é a energia que o gerador usa, durante determinado intervalo de tempo, para elevar o potencial das cargas elétricas. Nesse mesmo intervalo, o dispositivo de resistência R deve fornecer uma quantidade W₂ de energia (em forma de calor, por exemplo), uma vez que as cargas elétricas têm o seu potencial reduzido.

Numa hipotética situação ideal, sem perdas de transformação, deve-se ter W₁ = W₂ para satisfazer aos princípios da Termodinâmica. Numa situação real, desde que esses princípios continuam válidos, deve-se considerar as parcelas de perdas.

Potência é uma grandeza física dada pela relação entre energia e tempo P = dW / dt. Multiplicando e dividindo por uma quantidade infinitesimal de carga elétrica dq, chega-se a P = (dW / dq) (dq / dt). As expressões entre parênteses são as definições dadas de diferença de potencial e corrente elétricas. Portanto, a potência elétrica de um dispositivo é calculada pelo produto da tensão entre seus terminais pela corrente que circula:

P = V i #D.1#. Onde:

P: potência (unidade SI: watt W).
V: tensão elétrica (unidade SI: volt V).
i: corrente elétrica (unidade SI: ampère A).

Notar que esse produto é a potência elétrica do gerador (e também da carga R). Se, por exemplo, ele for do tipo eletromecânico, a potência mecânica é maior devido a perdas de transformação da energia mecânica em energia elétrica. Seria igual numa situação ideal de eficiência unitária. Quanto à carga, se ela for apenas para aquecimento, pode-se dizer que a potência de aquecimento é igual à potência elétrica. Se for para alguma outra transformação energética (motor, por exemplo), a potência de saída é menor devido a perdas de transformação.

Considerando a definição anterior de resistência (#C.1#), a substituição de V na igualdade acima resulta em

P = R i² #D.2#.

E a substituição de i implica

P = ( 1/R ) V² #D.3#.


Exemplo: um dispositivo de resistência 10 ohms é percorrido por uma corrente de 2 ampères. Determinar a potência dissipada bem como a tensão entre seus terminais.

Segundo #D.2#, P = R i² = 10 2² = 40 W. De #C.1#, V = R i = 10 2 = 20 V.

Lei de Ohm, resistência, resistividade, …

No tópico anterior, foi dada a definição de resistência elétrica de um elemento de circuito:

R = V / i #A.1#. Onde:

R: resistência elétrica (unidade SI: ohm Ω).
V: tensão entre os terminais (unidade SI: volt V).
i: corrente que circula pelo elemento (unidade SI: ampère A).

O físico alemão Georg Ohm (1787-1854) verificou experimentalmente que, para materiais metálicos sob temperatura constante, a resistência elétrica é também constante, fenômeno que ficou, em justa homenagem, conhecido como lei de Ohm.

A igualdade anterior pode ser reagrupada para:

Fig 01

V = R i #A.2#.

Portanto, em um elemento de material que obedece à lei de Ohm, a tensão é proporcional à corrente. E o gráfico da variação é uma reta conforme exemplo da Figura 01 (a).

Deve-se notar que nem todos os elementos de circuitos têm esse comportamento. Válvulas termiônicas e semicondutores não seguem, em geral, a lei de Ohm. Portanto, a variação tensão x corrente desses componentes não é linear.

Resistor é um elemento de circuito construído especificamente para apresentar uma determinada resistência entre seus terminais, comportando-se de acordo com a lei de Ohm. Símbolo usual conforme (b) da Figura 01. Portanto, um resistor de valor R, ao ser percorrido por uma corrente i, apresenta uma diferença de potencial V = R i entre seus terminais.

Resistência é uma propriedade do elemento, que depende do material, da temperatura e da sua geometria. Exemplo: a resistência de um pedaço de fio metálico depende do metal, do comprimento, da área da seção transversal (bitola) e da temperatura.

Verifica-se experimentalmente que a resistência de um condutor de seção transversal constante e de material que obedece à lei de Ohm é dada por:

Material	ρ 10−8 Ω m	α 10−5 1/ºC
Aço	18	300
Alumínio	2,8	390
Carbono	3500	−50
Cobre	1,7	390
Manganina	44	1
Níquel	7,8	600
Prata	1,6	380
Tungstênio	5,6	450

R = ρ ℓ / S #B.1#. Onde:

R: resistência em Ω.
ℓ: comprimento em m.
S: área da seção em m².

O fator de proporcionalidade ρ é denominado resistividade, que depende do material e da temperatura.

A unidade de ρ é ohm-metro (Ω m).

A resistividade é, portanto, uma característica do material. Valores típicos (a 20ºC) para alguns são dados na tabela acima. O parâmetro α é o coeficiente de temperatura para a resistividade de acordo com a relação:

α = ( Δρ / ρ ) / ΔT #B.2#. Onde ΔT é a variação de temperatura em ºC ou K.

Exemplo: para o cobre e ΔT = 1ºC, tem-se Δρ / ρ = α ΔT = 390 10⁻⁵ 1. Em termos percentuais, 100 Δρ / ρ = 100 390 10⁻⁵ = 0,39. Portanto, para cada ºC de aumento de temperatura, a resistividade do cobre aumenta 0,39%.

No caso de resistores, é desejável que a variação da resistência com a temperatura seja a menor possível. A manganina é uma liga de 84% de cobre, 12% de manganês e 4% de níquel. Devido ao baixo coeficiente de temperatura, é usada em certos tipos de resistores de alta precisão.

Algumas vezes, é conveniente o uso de grandezas inversas da resistência e da resistividade. A condutância de um elemento é o inverso da sua resistência:

G = 1 / R #C.1#. Onde:

G: condutância (unidade SI: siemens S, também denominada mho).
R: resistência (unidade SI: ohm Ω).

Portanto, a igualdade anterior #A.1# pode ser escrita da forma

V = i / G #C.2#.

Condutividade de um material é o inverso da sua resistividade:

γ = 1 / ρ #D.1#. Onde:

γ: condutividade (unidade SI: siemens por metro S/m).
ρ: resistividade (unidade SI: ohm metro Ω m).

E a igualdade #B.1# pode ser escrita como R = ( 1 / λ ) ℓ / S #D.2#.


Exemplo: uma barra de carvão de seção quadrada 1 x 1 cm tem comprimento de 80 cm. Determinar a resistência entre as extremidades.

Conforme tabela anterior, ρ = 3500 10⁻⁸ Ω m para o carvão. Conforme #B.1#, R = 3500 10⁻⁸ Ω m 80 10⁻² m / ( 10⁻² m 10⁻² m ) = 0,28 Ω.

Elementos ativos e passivos

Os elementos de circuitos elétricos são classificados em ativos e passivos de acordo com o sentido da transformação energética.

Fig 01

Elementos ativos são os que fornecem energia ao circuito e, portanto, a potência é positiva.

Elementos passivos são os que recebem energia do circuito e, portanto, a potência dissipada é negativa.

A convenção de correntes e sinais é dada na Figura 01 deste tópico.

+: terminal de maior potencial elétrico.
−: terminal de menor potencial elétrico.

Nos elementos ativos, a corrente circula do menor para o maior potencial e, nos elementos passivos, ela circula do maior para o menor potencial.

Exemplo típico de elemento passivo são resistores, mas podem ser também elementos que armazenam energia, como capacitores e indutores.

Elementos ativos são basicamente geradores de energia elétrica. Na prática, o termo gerador é usado para dispositivos que convertem energia mecânica em elétrica. De forma genérica, o termo fonte é mais usual, significando dispositivos que fornecem energia ao circuito, como geradores eletromecânicos, químicos (baterias) ou mesmo circuitos elétricos ou eletrônicos específicos para converter tensões / correntes de um circuito (em geral uma rede de distribuição) para outro.

Nesta série de páginas, fontes serão tratadas como blocos únicos de dois terminais, não havendo necessidade de considerar as formas originais de energia

Fontes de tensão e de corrente

Fonte independente de tensão é um elemento ativo que mantém uma tensão constante entre seus terminais. Assim, a corrente é determinada pelo restante do circuito. Símbolo usual conforme exemplo (a) da Figura 01 (nesse caso, ela mantém 5 V para qualquer corrente).

Fig 01

Naturalmente, essa definição se refere ao caso ideal. Fontes reais sempre apresentam pequenas variações (que podem ser desprezadas na prática) e a estabilidade é válida apenas para uma faixa de corrente.

Baterias são fontes de tensão comuns na prática. Por isso, o símbolo próprio é muitas vezes usado no lugar do anterior. Em (b) da Figura 01, exemplo de uma bateria, que equivale a uma fonte de tensão de 9 V.

Fonte independente de corrente é a que mantém uma corrente constante. A tensão é determinada pelo restante do circuito. Símbolo usual conforme (c) da Figura 01 (nesse exemplo, uma fonte de corrente de 2 A). A seta indica o sentido da corrente e, conforme convenção já vista para elemento ativo, o terminal de maior potencial (+) está no lado indicado por essa seta.

Fontes de correntes práticas são, em geral, implementadas com circuitos eletrônicos. As restrições reais são similares às anteriores, para fontes de tensão.

Fig 02

Fontes dependentes (ou controladas) de tensão ou de corrente operam de forma similar às anteriores, mas o nível da tensão ou corrente mantida depende de uma outra tensão ou de uma outra corrente de algum ponto do circuito.

Nos diagramas, são indicadas com a substituição dos círculos por losangos nos símbolos anteriores.

Considerando apenas a dependência linear, isto é, a relação dada por uma constante de proporcionalidade, são possíveis quatro arranjos conforme Figura 02 (as grandezas de controle são indicadas pelo índice x).

(a) Fonte de tensão controlada por tensão: a tensão mantida é μ v_x e o coeficiente μ é denominado ganho de tensão (adimensional).

(b) Fonte de tensão controlada por corrente: a tensão mantida é r_m i_x, onde r_m é dito transresistência (unidade Ω, ohm).

(c) Fonte de corrente controlada por tensão: a corrente mantida é g_m v_x. O fator g_m é denominado transcondutância (unidade S, siemens).

(d) Fonte de corrente controlada por corrente: a corrente mantida é β i_x. A constante β é o ganho de corrente (adimensional).

Apesar das limitações práticas impostas pelas capacidades, deve-se notar que fontes de tensão nunca podem operar em curto-circuito. Se isso ocorrer e não houver dispositivo de proteção, a corrente atingirá valores elevados (infinito no caso ideal), podendo danificar a fonte ou o circuito. De forma similar, fontes de corrente não podem operar em aberto, porque, nesse caso, a tensão será levada a níveis altos ou infinito no caso ideal.

Leis de Kirchhoff

A primeira lei de Kirchhoff, também conhecida como lei das correntes de Kirchhoff (LCK ou KCL, do inglês), estabelece que a soma algébrica das correntes em qualquer nó é nula:

Fig 01

Σ i_i = 0 #A.1#.

Nó é um ponto de conexão de dois ou mais elementos de circuito. É adotada a convenção:

• positivo: corrente que entra no nó.

• negativo: corrente que sai do nó.


Essa lei tem fundamento no princípio da conservação das cargas, isto é, cargas elétricas não podem aparecer ou desaparecer espontaneamente, de forma similar a partículas de um fluxo material.

No exemplo da Figura 01, i1 + i2 − i3 = 0 ou i1 + i2 = i3 (os retângulos são elementos genéricos). Portanto, uma outra forma de expressão da lei é considerar a soma das correntes que entram no nó igual à soma das correntes que saem do nó.

A segunda lei de Kirchhoff, também denominada lei das tensões de Kirchhoff (LTK ou KVL, do inglês), afirma que a soma algébrica das variações de tensão em qualquer laço é nula.

Fig 02

Σ v_i = 0 #B.1#.

Laço é qualquer caminho fechado do circuito, que passa apenas uma vez por cada nó. Supõe-se que o laço é percorrido em sentido horário, com a seguinte convenção de sinais:

• positivo: queda de tensão.

• negativo: aumento de tensão.

Desde que tensão (ou potencial) elétrico é dado pela relação entre trabalho e carga elétrica, deduz-se que essa lei é basicamente o princípio da conservação da energia. Se a carga percorre um caminho fechado, o estado inicial é igual ao final e, assim, a variação líquida de energia deve ser nula.

No exemplo da Figura 03, as igualdades para os três laços (A, B e C) são:

Laço A: v_R1 + v_R2 − v_S3 + v_R3 − v_S1 = 0.

Laço B: v_R1 + v_S2 − v_S1 = 0.

Laço C: v_R2 − v_S3 + v_R3 − v_S2 = 0.

De forma similar à anterior, pode-se expressar a lei como a igualdade entre a soma das quedas de tensão e a soma dos aumentos de tensão.

Os elementos passivos (resistores) apresentam quedas de tensão neste caso, de acordo com a convenção já vista para eles (a corrente entra no lado de maior potencial).

Notar que, no laço B, o sinal da tensão em S₂ é positivo porque a seta da fonte de corrente indica o lado de maior potencial. Assim, há uma queda de tensão para o sentido convencional do laço.

Observar também que devem ser previstas correntes diferentes para cada trecho de laço entre dois nós consecutivos. Se o resultado para uma corrente for negativo, o seu sentido será oposto ao previsto. Exemplos de cálculo no próximo tópico.

Leis de Kirchhoff - Exemplos numéricos

No circuito conforme Figura 01 (a) são dados os valores para todos os elementos, com exceção da fonte de corrente S₂. Mas é dada a queda de tensão em R₄ (24 V).

Fig 01

Determinar o valor de S₂, bem como a potência fornecida por cada fonte.

Em (b) da mesma figura, são considerados os laços A e B e as correntes indicadas.

Da relação básica v = R i, tem-se i₃ = 24 / R₄ = 24 / 8 = 3 A.

Usando-se a LTK para o laço B,

R₃ i₃ + R₄ i₃ − v_S2 = 0.

7 × 3 + 8 × 3 − v_S2 = 0. Portanto, v_S2 = 45 V.

Do circuito, v_R2 = v_S2 = 45 V. Também pode ser calculado: i₂ = v_R2 / R₂ = 45 / 9 = 5 A.

Considerando-se agora a LTK para o laço A, − v_S1 + R₁ i₁ + v_R2 = 0. Ou − 25 + 10 i₁ + 45 = 0. Portanto, i₁ = − 2 A, significando sentido oposto ao previsto.

A LCK no nó M implica i₁ = i₂ + i₅. Portanto, i₅ = − 2 − 5 = − 7 A. E a aplicação no nó N resulta em i₅ + i₄ = i₃. Assim, i₄ = − (− 7) + 3 = 10 A, que é a corrente da fonte S₂.

Potência da fonte S₁ = 25 i₁ = 25 (− 2) = − 50 W. Potência de S₂ = 45 × 10 = 450 W.

Fig 02

Figura 02: neste exemplo, um componente passivo C deve operar com 10 V e 2,5 A.

Os casos (a) e (b) são, respectivamente, opções para fornecer essa condição com fonte de tensão em série com resistência e fonte de corrente em paralelo com resistência. Determinar os valores dessas resistências.

Em (a), só existe um laço e a corrente nesse laço é única. O valor é i = 2,5 A. Aplicando-se a LTK, − 12 + R_a 2,5 + 10 = 0. Portanto, R_a = 0,8 Ω.

Em (b), a aplicação da LCK no nó acima de R_b resulta em 3 − i_Rb − 2,5 = 0. Portanto, i_Rb = 0,5 A. E o valor da resistência é dado por R_b = 10 / i_Rb = 10 / 0,5 = 20 Ω.

Associação de resistores

Na Figura 01, uma fonte de tensão v é conectada a três resistores em série. Pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o laço único do circuito.

Fig 01

− v + R₁ i + R₂ i + R₃ i = 0.

Reagrupando a igualdade,

( R₁ + R₂ + R₃ ) i = v.

A expressão entre parênteses é a resistência equivalente, que faz o mesmo efeito dessa combinação.

Generalizando, pode-se dizer que a resistência equivalente de uma combinação de n resistências em série é dada pela soma:

R_eq = R₁ + R₂ + … + R_n #A.1#.

No exemplo da Figura 02, uma fonte de tensão v é conectada a três resistores em paralelo. A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff nos nós a e b permite o resultado:

Fig 02

i = i₁ + i₂ + i₃.

Desde que cada resistor está sob a mesma tensão v, a corrente é a relação entre essa tensão e o valor da sua resistência.

i = v / R₁ + v / R₂ v / R₃. Reagrupando,

v = [ 1 / ( 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ ) ] i.

O termo entre colchetes é a resistência equivalente dessa associação. Generalizando, a resistência equivalente para uma associação de n resistências em paralelo é dada por:

1 / R_eq = 1 / R₁ + 1 / R₂ + … + 1 / R_n #B.1#.

Para o caso particular de dois resistores em paralelo, a fórmula abaixo pode ser facilmente deduzida:

R_eq = R₁ R₂ / (R₁ + R₂) #B.2#.

Em várias referências, são usadas duas barras verticais para indicar o resultado aritmético da associação em paralelo. Portanto, na fórmula anterior,

R₁ || R₂ = R_eq = R₁ R₂ / (R₁ + R₂) #B.3#.

Fig 03

Associações mistas de resistores podem ser, em vários casos, resolvidas em partes.

No exemplo da Figura 03, as etapas são:

R_fg = R₅ || R₆ (conforme #B.3#).

R_eg = R₄ + R_fg.

E o resultado final é R_ab = R₁ + (R₃ || R_eg) + R₂.

Divisor de tensão e divisor de corrente

Divisor de tensão é um arranjo simples de resistores em série, bastante utilizado em circuitos eletrônicos, para fornecer tensões contínuas inferiores ao valor da tensão da fonte.

Fig 01

No exemplo da Figura 01, a resistência equivalente entre 0 e 3 é dada por:

R_eq = R₁ + R₂ + R₃.

Portanto, a corrente i é calculada por:

i = v / (R₁ + R₂ + R₃).


Tensão v₁ = i R₁ = v R₁ / (R₁ + R₂ + R₃).

Tensão v₂ = i (R₁ + R₂) = v (R₁ + R₂) / (R₁ + R₂ + R₃).

Tensão v₃ = i (R₁ + R₂ + R₃) = v (R₁ + R₂ + R₃) / (R₁ + R₂ + R₃) = v.

Procedimento similar pode ser feito para qualquer número de resistores. Se o conjunto de resistores em série for substituído por um variável, a saída será ajustável de 0 a v.

Os cálculos acima não consideram a corrente do circuito a alimentar. Assim, os valores reais serão menores que os indicados. Devido à dissipação de energia nos resistores, o arranjo não é adequado para altas potências.

Fig 02

Um divisor de corrente usa uma fonte de corrente e resistores em paralelo conforme exemplo de três resistores da Figura 02 (a).

Conforme visto em tópico anterior, a resistência equivalente dessa associação é

1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃.

Ou, simbolicamente,

R_eq = R₁ || R₂ || R₃.

A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff permite a fácil dedução da corrente em cada:

i₁ = (R_eq / R₁) i. E de forma similar para as demais. Naturalmente, o cálculo pode ser estendido para qualquer número de resistores.

No caso particular de 2 resistores conforme (b) da Figura 02, a resistência equivalente é R_eq = R₁ R₂ / (R₁ + R₂). Substituindo e simplificando na fórmula anterior,

i₁ = i R₂ / (R₁ + R₂) para a primeira corrente e i₂ = i R₁ / (R₁ + R₂) para a segunda.

Exemplos de associação de resistores

No exemplo da Figura 01, é suposto que a formação do circuito se repete continuamente. Considerando o valor de cada resistor 1 Ω, determinar a resistência equivalente entre os pontos a e b.

Fig 01

Seja R a resistência entre a e b. Se o circuito for cortado em CC', a resistência do restante é também R, uma vez que a formação é repetida até o infinito.

Então, a resistência entre a e b (R) é igual à associação de uma resistência de 1 Ω em série com uma associação paralela de 1 Ω com R.

R = 1 + (1 || R) = 1 + 1 × R / (1 + R). Reagrupando e simplificando a igualdade,

R² − R − 1 = 0. O resultado é a solução positiva dessa equação do segundo grau, R ≈ 1,618 Ω.

Fig 02

Na Figura 02, resistores de 1 Ω são dispostos em um arranjo espacial, nas arestas de um cubo. Determinar a resistência entre vértices opostos (exemplo: a e g).

Provavelmente, o problema pode ser resolvido com a planificação do circuito e a aplicação das leis de Kirchhoff. Mas a simetria do caso sugere um meio mais simples e imediato.

Seja uma corrente de 6 A aplicada entre os vértices a e g.

Desde que os resistores têm o mesmo valor, ela é dividida igualmente nas três arestas que partem de cada vértice: i_ab = i_ad = i_ae = i_hg = i_fg = i_cg = 2 A.

Em vértices intermediários (por exemplo, d) a corrente é dividida por dois: i_dc = i_dh = i_ad / 2 = 1 A.

Escolhe-se agora um caminho qualquer entre a e g. Exemplo: ad, dh e hg. E as respectivas correntes já foram deduzidas: i_ad = 2 A, i_dh = 1 A e i_hg = 2 A.

A queda de tensão entre a e g é a soma das quedas de cada parte:

v_ag = v_ad + v_dh + v_hg = 1 × 2 + 1 × 1 + 1 × 2 = 5 V. Desde que i_ag = 6 A conforme premissa,

R_ag = v_ag / i_ag = 5/6 Ω.

Conversão Delta-Y e Y-Delta

No lado esquerdo da Figura 01, três resistores estão ligados em Δ (ou triângulo). Deseja-se saber os valores para a configuração Y (ou estrela) equivalente.

Fig 01

Então, a resistência entre os pontos A e B deve ser igual à resistência entre a e b:

R_AB || (R_BC + R_CA) = R_a + R_b. E, de forma similar para os demais pares de pontos,

R_BC || (R_AB + R_CA) = R_b + R_c.

R_CA || (R_AB + R_BC) = R_c + R_a.

Expandindo as igualdades anteriores e resolvendo o sistema de equações, o resultado é

R_a = R_AB R_CA / (R_AB + R_BC + R_CA) #A.1#.

R_b = R_AB R_BC / (R_AB + R_BC + R_CA) #A.2#.

R_c = R_BC R_CA / (R_AB + R_BC + R_CA) #A.3#.

Fig 02

Na transformação inversa, isto é, Y-Delta conforme Figura 02, procedimento similar pode ser usado, chegando-se ao resultado:

R_AB = (R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a) / R_c #B.1#.

R_BC = (R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a) / R_a #B.1#.

R_CA = (R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a) / R_b #B.1#.


Essas conversões podem ser bastante úteis para a solução de alguns problemas de análise de circuitos.

Fontes: associações e condições reais

Fontes de tensão ou de corrente podem ser associadas para formar conjuntos de maior capacidade, mas há restrições que devem ser observadas.

Fig 01

Fontes de tensão em série resultam numa fonte com tensão igual à soma das tensões individuais. No exemplo da Figura 01, a associação (a) é equivalente à fonte (b) com

v = v₁ − v₂ + v₃.

Notar que a soma deve ser algébrica, ou seja, uma fonte em oposição (2 no exemplo) reduz a tensão total.

Associações em série de fontes de tensão são comuns na prática. Baterias são geralmente formadas por células individuais ligadas em série.

A ligação em paralelo de fontes de tensão só é viável se elas forem iguais. Se fontes diferentes forem associadas em paralelo, haverá correntes entre elas e os danos serão inevitáveis.

Fig 02

Fontes de corrente podem ser associadas em paralelo. No exemplo da Figura 02, o conjunto paralelo (a) equivale a uma fonte (b) com

i = i₁ − i₂ + i₃.

De forma similar à fonte de tensão, o elemento invertido reduz a corrente do conjunto.

A ligação em série de fontes de corrente tem restrições semelhantes à ligação em paralelo de fontes de tensão. Só pode ser feita com elementos idênticos.

Fig 03

Fontes reais de tensão e de corrente

Em primeira aproximação (na realidade, há mais diferenças), uma fonte de tensão real pode ser considerada uma fonte ideal de tensão v_s em série com uma resistência R_s, denominada resistência interna da fonte. Ver (a) da Figura 03.

Assim, se o circuito a alimentar tem uma resistência equivalente R_L, a tensão v é dada por

v = v_s − R_s i. Portanto, a tensão diminui com o aumento da corrente.

O gráfico de (b) da mesma figura mostra curvas típicas para as situações descritas:

(1) fonte ideal: tensão constante, independente da corrente.
(2) aproximação para fonte real conforme relação anterior: variação linear da tensão.
(3) possível característica para uma fonte real: variação não linear.

Notar que uma fonte de tensão ideal teria resistência interna nula. Assim, uma fonte de tensão real deve ter a menor resistência interna possível.

De forma similar, uma fonte de corrente real pode ser considerada aproximadamente igual a uma ideal com uma resistência em paralelo conforme (c) da Figura 03. Então, a corrente na carga é dada por

i = i_s − v / R_s. Ou seja, a corrente diminui com o aumento da tensão.

O gráfico em (d) da figura exibe curvas similares às anteriores, com as devidas adaptações para correntes.

Uma fonte de corrente ideal teria resistência interna infinita e, portanto, uma fonte real deve ter a maior resistência possível.

Fig 04

Fontes de correntes práticas são mais difíceis de implementar, mas uma aproximação simples é possível. O circuito da Figura 04 é o anterior para a fonte de tensão. Na relação também vista

v = v_s − R_s i, pode-se substituir v por R_L i. E o resultado após simplificação é:

i = v_s / (R_s + R_L). Fazendo k = R_L / R_s e substituindo, i = v_s / [ R_s (1 + k) ].

Assim, se a resistência interna da fonte é muito grande em relação à da carga (R_s >> R_L), tem-se k ≈ 0 e a corrente é dada por

i ≈ v_s / R_L, ou seja, é aproximadamente constante, simulando uma fonte de corrente. Entretanto, a aplicação prática é limitada devido à perda de potência no resistor e à necessidade de tensões altas de v_s para operar com circuitos usuais.

Máxima transferência de potência

Seja, conforme Figura 01, uma fonte de tensão de resistência interna R_s que alimenta uma carga de resistência R_L.

A corrente é dada por i = v_s / (R_s + R_L). E a potência dissipada pela carga é

Fig 01

P_L = R_L i² = R_L [ v_s / (R_s + R_L) ]².

Considerando constantes os parâmetros da fonte, o valor de R_L que maximiza a potência acima é dado pela derivada nula.

dP_L / dR_L = 0.

Omitindo o desenvolvimento matemático, o resultado é R_L = R_s. Ou seja, a máxima potência é transferida quando a resistência da carga é igual à resistência interna da fonte de tensão.

Se as resistências são iguais, as potências dissipadas em cada são também idênticas porque são percorridas pela mesma corrente. Deduz-se então que, na condição de máxima potência transferida, a eficiência é 50%.

Princípio da superposição

Se um sistema físico é linear, o seu comportamento pode ser considerado a soma dos comportamentos individuais de cada componente desse sistema. Esse é o princípio da superposição, que pode ser usado para resolver circuitos elétricos lineares, de forma simples e rápida em muitos casos.

Em geral, o cálculo é feito com uma fonte independente de cada vez. As demais fontes independentes são removidas segundo os critérios:

Fig 01

• Fonte independente de tensão suprimida = curto circuito.

• Fonte independente de corrente suprimida = circuito aberto.

• Fonte dependente de tensão ou corrente não é suprimida.

No exemplo da Figura 01 (a), que tem apenas fontes independentes, deseja-se saber a corrente através do resistor R₃, isto é, i_R3. As etapas estão indicadas nos outros circuitos.

(b) Mantida a fonte S₁ e suprimidas S₂ e S₃. Desde que estas últimas são fontes de corrente, os terminais são deixados em aberto.

A corrente em R₃ nessa condição é facilmente calculada i_R3b = 30/(6+4+2) = 2,5 A.

(c) Mantida S₃ e suprimidas S₁ e S₂. Notar o curto na ausência de S₁. Nessa situação, o resistor de 4 Ω e a série (6+2) Ω formam um divisor de corrente de dois elementos para a fonte de corrente de 3 A. Segundo fórmula já vista, i_R3c = 3 × 4 / [4 + (6+2)] = 1 A.

(d) Mantida S₂ e suprimidas S₁ e S₃. Ocorre também um divisor de corrente de dois elementos para a fonte de 8 A. Os resistores são 6 Ω e 4+2 = 6 Ω. Desde que são idênticos não há necessidade de fórmula. A corrente é dividida igualmente, mas notar que o sentido é oposto ao das anteriores i_R3d = −8/2 = −4 A.

E o resultado final é dado pela soma i_R3 = i_R3b + i_R3c + i_R3d = 2,5 + 1 − 4 = − 0,5 A.

Fig 02

O exemplo da Figura 02 (a) é semelhante ao anterior, mas a fonte S₂ é dependente, fornecendo uma corrente igual a oito vezes a corrente de R₃. Por ser dependente, ela não é suprimida.

(b) Mantida S₁ e suprimida S₃. Segundo a lei das correntes de Kirchhoff, a corrente que sai do nó n₃ é 8 i_R3b + i_R3b = 9 i_R3b. Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff no laço indicado,

− 30 + 6 9 i_R3b + (4+2) i_R3b = 0. Ou i_R3b = 0,5 A.

(c) Mantida S₃ e suprimida S₁. A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n₃ dá resultado similar ao anterior, 9 i_R3c para a corrente que sai. E a mesma lei no nó n₁ implica

9 i_R3c − 8 i_R3c − 3 − i_R4c = 0.

Portanto, i_R4c = i_R3c − 3.

Agora é usada a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) no laço indicado.

6 9 i_R3c + 4 (i_R3c − 3) + 2 i_R3c = 0.

A solução dessa equação é i_R3c = 0,2 A. E o resultado final, i_R3 = i_R3b + i_R3c = 0,5 + 0,2 = 0,7 A.

Teorema de Thévenin e teorema de Norton

Seja um circuito genérico X de dois terminais de saída, representado por um retângulo em (a) e em (b) da Figura 01. Esse circuito é supostamente formado por fontes independentes (pelo menos uma), fontes dependentes e resistores.

Fig 01

A tensão de circuito aberto entre terminais, v_ca, é indicada em (a) da figura.

A corrente de curto-circuito entre terminais, i_cc, é indicada em (b) da figura.

A resistência de Thévenin desse circuito é dada pela relação entre ambas

R_th = v_ca / i_cc #A.1#.

O teorema de Thévenin afirma que esse circuito é equivalente a uma fonte de tensão v_ca em série com uma resistência R_th, conforme (c) da figura.

O teorema de Norton estabelece que o circuito é equivalente a uma fonte de corrente i_cc em paralelo com uma resistência R_th, conforme (d) da figura.

As seguintes relações podem ser facilmente deduzidas.

• na equivalência de Thévenin, se a carga drena uma corrente i, a tensão é dada por

v = v_ca − R_th i #B.1#.

• na equivalência de Norton, se a carga fixa uma tensão v, a corrente é dada por

i = i_cc − v / R_th #B.2#.

Fig 02

Os teoremas anteriores podem ser aplicados na solução de alguns problemas de circuitos, que envolvem parâmetros entre dois terminais.

Em muitos casos, é bastante útil a conversão de fontes conforme ilustrado na Figura 02.

A equivalência dos circuitos pode ser facilmente deduzida com os teoremas anteriores e pode ser assim resumida:

• uma fonte de tensão v em série com uma resistência R equivale a uma fonte de corrente i = v/R em paralelo com uma resistência R.

• uma fonte de corrente i em paralelo com uma resistência R equivale a uma fonte de tensão v = R i em série com uma resistência R.

No exemplo da Figura 03 (a), uma fonte de tensão v_s alimenta uma resistência de carga R_L via divisor de tensão formado por R₁ e R₂. Dados esses parâmetros, deseja-se saber a tensão e corrente na carga, v_RL e i_RL.

Notar que a fórmula vista em página anterior para divisor de tensão não considera corrente de carga. Assim, quando se aplica uma resistência real R_L, a tensão é menor que a calculada pela fórmula mencionada.

Fig 03

Para a solução com o teorema de Thévenin, consideram-se terminais na resistência R_L. Assim, a parte (b) da figura mostra a tensão de circuito aberto, que é calculada pela fórmula do divisor de tensão porque não há corrente:

v_ca = v_s R₁ / (R₁ + R₂).

A corrente de curto-circuito é vista em (c) da figura:

i_cc = v_s / R₂.

E a resistência de Thévenin é dada por:

R_th = v_ca / i_cc = R₁ R₂ / (R₁ + R₂).


A parte (d) da mesma figura mostra o equivalente de Thévenin para o circuito. E a corrente da carga é calculada por:

(R_th + R_L) i_RL = v_ca. Substituindo os valores anteriores,

[ R₁ R₂ / (R₁ + R₂) + R_L ] i_RL = v_s R₁ / (R₁ + R₂). Portanto, a corrente i_RL é calculada a partir dos parâmetros supostamente conhecidos e a tensão é v_RL = R_L i_RL.


Para o exemplo da Figura 04, pede-se determinar os parâmetros de Thévenin em função da tensão v_s1, da fonte S₁.

Considerando-se os terminais 1 e 2 abertos, a corrente em R₁ é calculada com uso da LTK (lei das tensões de Kirchhoff) no laço S₁, R₁ e R₂:

− v_s1 + 200 i_R1 + v_R2 = 0. Portanto, i_R1 = (v_s1 − v_R2) / 200.

A corrente em R₂ é i_R2 = v_R2 / 2000.

A corrente em R₃ é calculada com o uso da LTK no laço limitado pelos nós n₁, n₂, n₃ e n₄:

Fig 04

− v_R2 + 1900 i_R3 + 100 i_R3 − 98 v_R2 = 0.

Portanto, i_R3 = 99 v_R2 / 2000.

A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n₁ implica

i_R1 = i_R2 + i_R3. Substituindo,

(v_s1 − v_R2) / 200 = v_R2 / 2000 + 99 v_R2 / 2000. Assim, v_R2 = v_s1 / 11.

E a tensão de circuito aberto é a soma da queda de tensão em R₄ com a tensão de S₂. Desde que não há corrente entre 1 e 2, a corrente em R₄ é igual à corrente em R₃:

v_ca = 100 i_R3 − 98 v_R2 = 100 99 v_R2 / 2000 − 98 v_R2.

v_ca = − 93,05 v_R2 = − 93,05 v_s1 / 11 ≈ − 8,46 v_s1.

A Figura 04A (a) mostra a situação com os terminais 1 e 2 em curto-circuito. A corrente em R₁ tem a mesma expressão anterior:

Fig 04A

i_R1 = (v_s1 − v_R2) / 200.

A corrente em R₂ é também i_R2 = v_R2 / 2000.

A tensão em R₃ é a mesma de R₂, ou seja, v_R2. Portanto, a corrente é

i_R3 = v_R2 / 1900.

De forma similar à situação anterior, a lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n₁ resulta em

i_R1 = i_R2 + i_R3. Substituindo os valores anteriores,


(v_s1 − v_R2) / 200 = v_R2 / 2000 + v_R2 / 1900. Resolvendo, v_R2 = 190 v_s1 / 229.

A corrente em R₄ é obtida pela LTK no laço n₂, 1, 2 e n₃:

100 i_R4 − 98 v_R2 = 0 ou i_R4 = 98 v_R2 / 100.

Aplica-se agora a LCK no nó n₂: i_R3 = i_R4 + i_cc. Substituindo, v_R2 / 1900 = 98 v_R2 / 100 + i_cc.

Resolvendo, i_cc ≈ − 0,98 v_R2. Substituindo o valor de v_R2, obtém-se i_cc ≈ − 0,98 190 v_s1 / 229 = − 0,813 v_s1.

Portanto, o circuito é equivalente a (b) da Figura 04A, com v_ca ≈ − 8,46 v_s1 e

R_th = v_ca / i_cc = − 8,46 v_s1 / (− 0,813 v_s1) ≈ 10,4 Ω.

Amperímetro: princípios e algumas aplicações

A Figura 01 dá o princípio básico do amperímetro clássico (também denominado instrumento D'Arsonval): uma bobina móvel (que se liga aos bornes com fios flexíveis) é acoplada a um ponteiro que pode girar em torno de um eixo.

Fig 01

Uma mola espiral não indicada na figura atua sobre esse conjunto de forma que, sem corrente, o ponteiro repousa no lado esquerdo da escala.

Desde que a bobina móvel está sob ação de um campo magnético de um ímã permanente, ao passar uma corrente elétrica pela mesma, o campo magnético gerado pela interage com o campo do ímã, girando o conjunto para a direita.

Dos princípios do eletromagnetismo e da mecânica simples, deduz-se que a deflexão é proporcional à corrente que circula pela bobina.

Na prática, esses instrumentos têm construção delicada, tipo mecanismo de relógio, e podem apresentar sensibilidade para correntes pequenas, na faixa de microampères.

Fig 02

Nos esquemas, amperímetros são simbolizados por círculos com a letra A. A Figura 02 (a) dá o circuito básico da medição de corrente com o amperímetro.

Assim, a corrente indicada é

i_a = v_s / (R_s + R_L) #A.1#.

Mas isso seria o caso de um instrumento ideal. Amperímetros reais sempre apresentam uma resistência interna R_m, de forma que o diagrama real é simulado em (b) da figura e a corrente é

i_b = v_s / (R_s + R_m + R_L) #A.2#.

Portanto, i_b <>a.

Pode-se então concluir que o amperímetro deve ter a menor resistência interna possível. Em muitos casos práticos, essa resistência é pequena em relação às demais do circuito, de forma que a redução da corrente medida pode ser desprezada.

A bitola do fio da bobina móvel deve ser dimensionada de acordo com a faixa de correntes a medir. Acima de certo valor, é inviável a construção prática das bobinas, de modo que, para correntes mais elevadas, os amperímetros são quase sempre implementados com auxílio de uma resistência de derivação em paralelo ou shunt, do inglês. O seu uso permite ainda a multiplicidade de escalas mediante simples comutação de resistores.

Fig 03

A Figura 03 dá o esquema de um amperímetro real, de resistência interna R_m, com uma resistência de shunt R_p. A lei das correntes de Kirchhoff no nó esquerdo implica

i = i_m + i_p #B.1#

Para o laço A, R_m e R_p, segundo a lei das tensões de Kirchhoff, R_m i_m = R_p i_p #B.2#. Combinando as duas igualdades de forma a eliminar i_p,

i = i_m (1 + R_m / R_p) #B.3#.

Portanto, a corrente real é a corrente medida multiplicada por um fator dependente da relação R_m / R_p. Naturalmente, a escala pode ser confeccionada para leitura direta de acordo com essa relação.

Fig 04

A tensão entre os terminais de um amperímetro real, sem shunt, percorrido por uma corrente i_m é dada por

v = R_m i_m #C.1#. Dessa relação conclui-se que um amperímetro pode operar como voltímetro, pois a tensão é proporcional à corrente medida.

A maioria dos valores usuais de tensão exigem resistências maiores que a própria do instrumento (R_m), de forma que voltímetros práticos usam resistências multiplicadoras R_x, conforme indicado na Figura 04.

No esquema dessa figura, a tensão na resistência de carga R_L é dada por

v_RL = (R_x + R_m) i_m #C.2#.

Nos voltímetros comuns, as escalas são desenhadas de acordo com o multiplicador usado, para indicação direta da tensão. Comutação de resistores pode ser empregada para proporcionar múltiplas escalas.

Voltando ao circuito da Figura 04, pode-se observar que a corrente de medição i_m aumenta a queda de tensão em R_s e, por isso, a tensão medida é inferior à tensão real, sem o instrumento. Um voltímetro deve ter, portanto, a maior resistência interna possível. Esse aspecto é importante em circuitos eletrônicos de sinais, onde as correntes são em geral pequenas e o uso de voltímetros inadequados pode resultar em erros significativos.

É comum a especificação da resistência interna de voltímetros em ohms por volt para o fundo de escala. Por exemplo, um voltímetro 0-5 V e 10000 Ω/V apresenta uma resistência de 5×10000 = 50 kΩ.

O símbolo usual de voltímetro é similar ao do amperímetro, com um V no lugar do A no interior do círculo. Nos diagramas comuns, os símbolos abrangem as resistências internas que existirem. Se forem instrumentos ideais, elas serão nulas nos amperímetros e infinitas nos voltímetros.

Um medidor de resistência (ohmímetro) pode ser implementado com um voltímetro de acordo com o circuito básico da Figura 05.

Fig 05

Considerando um voltímetro de elevada resistência interna, a corrente por ele drenada pode ser desprezada e a queda de tensão em R₂ é aproximadamente a leitura v:

v ≈ v_R2 #D.1#.

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no laço formado por V_s, R₂ e R,

− v_s + R₂ i + R i = 0. Mas a corrente i é dada por i = v_R2 / R₂ ≈ v / R₂ (usando #D.1#). Substituindo e simplificando, o resultado final da igualdade anterior é

R = R₂ ( v_s / v − 1 ) #D.2#.

A tensão da bateria v_s pode ser medida com as pontas de prova em curto-circuito. E o valor da resistência desconhecida R é calculado pela fórmula acima.

Ohmímetros práticos usam um resistor ajustável R₁ para fazer, com as pontas em curto, o valor de v_s igual à leitura máxima do voltímetro e a escala é graduada em ohms, em relação a esse valor máximo. Notar que, segundo a fórmula #D.2#, a escala é não linear e inversa, isto é, quanto maior R, menor a leitura.

Observar também que a fórmula #D.2# foi obtida com a aproximação de #D.1#. Desde que não há voltímetros ideais, os ohmímetros práticos usam circuitos para compensar essa aproximação, mas o princípio básico é o mesmo.

Um mesmo instrumento D'Arsonval pode ser combinado com chaves comutadoras e circuitos para executar as funções de amperímetro, voltímetro e ohmímetro. É o conhecido multímetro, de amplo uso em equipamentos eletrônicos.

Análise nodal de circuitos - Introdução

A análise nodal é um meio sistemático para a solução de circuitos resistivos com fundamento na lei das correntes de Kirchhoff.

Fig 01

O circuito simples da Figura 01 pode ser resolvido com auxílio das fórmulas já vistas para associação de resistores, mas aqui será usado para estudo do método.


O primeiro passo é identificar todos os nós do circuito, que são os pontos de conexão de dois ou mais elementos.

Fig 02

Na praxe dos diagramas, nós de dois elementos não são destacados. A Figura 02 mostra todos eles.

A próxima etapa é a escolha de um nó de referência, que será considerado de potencial nulo, como se fosse ligado à terra.

O nó de referência deve ter o maior número de elementos conectados e, principalmente, o maior número de fontes independentes de tensão.

Todas as tensões serão consideradas relativas ao nó de referência. No circuito em questão, o nó n₄ é a escolha natural para a referência conforme indicado na Figura 02.

O problema é resolvido se as tensões nos nós são conhecidas. O nó n₄ tem tensão nula por ser referência. O nó n₁, por ser de uma fonte de tensão conectada à referência, tem a própria tensão da fonte. Restam então os nós n₂ e n₃, de tensões desconhecidas v₂ e v₃, destacados com (*) na Figura 03.

O raciocínio acima permite deduzir que, de forma genérica, o número de nós de tensão desconhecida é n − 1 − m, onde n é o número total e m é o número de fontes de tensão independentes conectadas ao nó de referência.

Fig 03

Uma vez identificados os nós de tensão desconhecida, o próximo passo é indicar as correntes entre nós, lembrando que os seus sentidos e os lados de maior (+) e de menor (−) potencial devem estar de acordo com a convenção já vista para elementos passivos e ativos. Ver Figura 03.

Para facilitar a formulação das equações, é usada condutância no lugar de resistência. Assim,

G₁ = 1/R₁, G₂ = 1/R₂, etc.

As correntes indicadas podem ser calculadas em função de diferenças de tensões e condutâncias.

i1 = G1 (vs1 − v2)

i2 = G2 v2

i3 = G3 (v2 − v3)

i3 = G4 v3

A lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n₂ implica

i₁ = i₂ + i₃. Substituindo, G₁ (v_s1 − v₂) = G₂ v₂ + G₃ (v₂ − v₃). Ou, reagrupando,

G₁ v₂ + G₂ v₂ + G₃ v₂ − G₃ v₃ = G₁ v_s1. Simplificando, (G₁ + G₂ + G₃) v₂ − G₃ v₃ = G₁ v_s1 #A.1#.

Aplica-se agora a LCK no nó n₃:

i₃ = i₃. Ou G₃ (v₂ − v₃) = G₄ v₃. Reagrupando, − G₃ v₂ + (G₃ + G₄) v₃ = 0 #A.2#.

G1+G2+G3 −G3 −G3 G3+G4 × v2 v3 = G1 vs1 0

#B.1#

As igualdades #A.1# e #A.2# formam um sistema de equações lineares, que pode ser representado em forma de matrizes segundo #B.1# ao lado.


Desde que as condutâncias G₁ a G₄ e a tensão v_s1 são supostamente conhecidas, o sistema pode ser resolvido e a sua solução, v₂ e v₃, é a solução do circuito.

Fig 04

O primeiro elemento da matriz direita de #B.1# é igual a

v_s1 / R₁.

No circuito, a fonte v_s1 está em série com R₁. Segundo a conversão já vista de fontes, isso equivale a uma fonte de corrente v_s1 / R₁ em paralelo com uma resistência R₁.

Então, o circuito é equivalente ao apresentado na Figura 04 ao lado.

Pode-se dizer, portanto, que os elementos da matriz de coluna da direita são as fontes de corrente que entram no nó. O valor é nulo no segundo elemento porque não há fonte para o nó n₃ do circuito em estudo.

G11 −G12 … −G1N −G21 G22 … −G2N : : : −GN1 −GN2 … GNN × v11 v21 : vN1 = is11 is21 : isN1

#D.1#

O sistema anterior pode então ser generalizado para o caso de N nós de tensão desconhecida:

[G] [v] = [i_s] #C.1#. Onde:

[G]: matriz de condutância. Conforme #D.1#, é uma matriz N×N simétrica tal que

G_ii = soma das condutâncias conectadas ao nó i.

G_ij = soma das condutâncias entre os nós i e j.

[v]: matriz das tensões. De coluna N×1 tal que v_i1 = tensão no nó i.

[i_s]: matriz de correntes. De coluna N×1 tal que i_si1 = soma das fontes de corrente que entram no nó i.

Análise nodal de circuitos - Alguns exemplos

Este tópico apresenta circuitos que demandam alguma dificuldade de análise em relação ao exemplo simples do tópico introdutório da página anterior.

Fig 01

Circuito com fonte de corrente

No exemplo da Figura 01, os dois nós inferiores equivalem eletricamente a um único, que foi escolhido para referência.

A fonte de corrente i_s1 é naturalmente considerada na matriz de fontes de corrente conforme visto na página anterior.

Lembrar que, no conjunto #A.1#, Gs são condutâncias (inversos) das resistências do circuito.

A contribuição da fonte de tensão v_s1 é dada pelo termo v_s1/R₁, ou seja, a conversão em fonte de corrente, conforme mencionado na mesma página.

No caso da fonte de corrente i_s1, ela está conectada a dois nós desconhecidos v₁ e v₃. Portanto, sua parcela é positiva em v₁ (corrente entrando, i_s1) e negativa em v₃ (corrente saindo, −i_s1).

G1+G2+G4 −G2 0 −G2 G2+G3+G5 −G3 0 −G3 G3+G6 × v1 v2 v3 = is1 + vs1/R1 0 −is1

#A.1#

Fig 02

No exemplo da Figura 02, o nó n₃ é claramente o mais favorável para servir de referência.

As fontes de tensão v_s1 e v_s2 contribuem com as correntes equivalentes 30/6 e 50/5 respectivamente nos nós v₁ e v₂.

A fonte de corrente i_s1 atua nesses nós com sinais opostos, de forma similar ao exemplo anterior.

O resultado de #B.1# abaixo é v₁ = 30 V e v₂ = 40 V.

1/6 + 1/10 + 1/15 −1/10 −1/10 1/10 + 1/5 × v1 v2 = 1 + 30/6 −1 + 50/5

#B.1#

Circuito com fonte de tensão flutuante em série com resistência

Fig 03

No circuito de exemplo da Figura 03, qualquer seja o nó de referência escolhido, haverá pelo menos uma fonte de tensão não conectada a ele. Fontes de tensão nessa condição são denominadas flutuantes e, evidentemente, precisam ser consideradas no modelo do sistema de equações lineares.

No mesmo circuito, o nó n₄ é o mais conveniente para referência, por ser comum a duas fontes de tensão. Resta, portanto, a fonte flutuante v_s1.

Fig 03A

Se a fonte flutuante tem uma resistência em série, o melhor caminho é convertê-la em uma fonte de corrente equivalente em paralelo com essa resistência. Assim, o circuito enquadra-se no tipo dos anteriores e pode ser facilmente resolvido.

Na Figura 03A, o circuito é redesenhado com a conversão de v_s1 para i_vs1 = 48 / 6000 = 0,008 A ou 8 mA.

No sistema de equações #C.1#, os valores em kΩ do circuito estão diretamente considerados, sem multiplicadores. Desde que estão em ambos os lados, os resultados não são afetados.

É importante notar que, no circuito equivalente da Figura 03A, a fonte v_s2 atua via R₁ em v₁ e via R₃ em v₂, conforme pode ser visto na matriz de correntes.

O resultado do sistema de equações #C.1# abaixo é v₁ = 6 V e v₂ = 0 V.

1/6 + 1/1 + 1/3 −1/1 −1/1 1/4 + 1/2 + 1/1 × v1 v2 = 8 − 24/6 + 15/3 −24/4

#C.1#

Circuito com fonte de tensão flutuante sem resistência em série

Fig 04

No circuito de exemplo da Figura 04, se escolhido n₄ como referência, a fonte de tensão fica flutuante, mas não há uma resistência em série conectada somente com ela conforme exemplo anterior.

Neste caso, a fonte pode ser considerada um único nó, denominado supernó.

Fig 04A

A Figura 04A reproduz o circuito, com a indicação do supernó v₁, formado pelos nós n₁ e n₅ da figura anterior.

Observar, no sistema de equações #D.1# abaixo, algumas particularidades para o caso:

• as condutâncias entre v₁ e v₂ são dadas por R₁ e R₃. Assim, o termo −(1/10 + 1/2) está presente na matriz das condutâncias.

• a fonte v_s1 em conjunto com R₃ atua como uma fonte de corrente entre v₁ e v₂. Portanto, os termos +30/2 e −30/2 estão na matriz das correntes (lado direito).

O resultado do sistema de equações #D.1# é v₁ = 40 V e v₂ = 10 V.

1/10 + 1/5 + 1/2 −(1/10 + 1/2) −(1/10 + 1/2) 1/10 + 1/1 + 1/2 × v1 v2 = 1 + 50/5 + 30/2 7 − 30/2

#D.1#

Análise de circuitos por malhas - Introdução

Este é um outro método sistemático para análise de circuitos resistivos, similar à análise de nós das páginas anteriores. A diferença é sugerida pelo nome: usa a lei das tensões de Kirchhoff no lugar da lei das correntes.

Fig 01

O procedimento só é aplicavél a circuitos planares.

A Figura 01 mostra um exemplo. Em (a), há um cruzamento sem interligação, indicado por (*). Esse circuito é planar porque ele pode ser redesenhado no plano, como em (b) da figura, de forma a eliminar cruzamentos sem interligação. Caso contrário, o circuito não é planar e não pode ser resolvido por malhas.

Todo circuito elétrico deve ter pelo menos um laço ou caminho fechado, sem o qual não pode haver corrente circulante.

Fig 02

Para estudo inicial do método, será usado o circuito de exemplo da Figura 02, que é o mesmo empregado no método nodal anterior.

Nesse circuito, é possível identificar três caminhos fechados conforme indicação das linhas tracejadas.

Uma malha é considerada um laço que não contém outros. Portanto, no circuito em estudo, apenas m₁ e m₂ são de interesse.

Uma vez identificadas as malhas de cálculo, o passo seguinte é a indicação de correntes para cada malha.

Fig 03

Segundo a Figura 03, as malhas m₁ e m₂ têm supostamente as correntes i_m1 e i_m2.

É também suposto que as correntes circulam as malhas no sentido horário. Essa convenção é arbitrária, mas, se assim mantida, proporciona uniformidade e facilita a compreensão do método (se o resultado for negativo, o sentido real é oposto).

Agora, pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) para cada malha, observadas as convenções de sinais para elementos passivos e ativos. É importante notar que, nos ramos comuns a duas malhas, as correntes são dadas pela soma algébrica das correntes de cada malha.

Malha m₁: −v_s1 + R₁ i_m1 + R₂ (i_m1 −i_m2) = 0.

Malha m₂: R₂ (i_m2 −i_m1) + R₃ i_m2 + R₄ i_m2 = 0.

R1+R2 −R2 −R2 R2+R3+R4 × im1 im2 = vs1 0

#A.1#

As igualdades anteriores formam um sistema de equações lineares de duas incógnitas, que pode ser representado em forma de matrizes segundo #A.1#.

Fig 04

Uma vez resolvido esse sistema de equações, as correntes do circuito são facilmente determinadas (ver Figura 04):

i₁ = i_m1.
i₂ = i_m1 − i_m2.
i₃ = i_m2.

De forma similar à do método de análise nodal, o sistema de equações lineares pode ser generalizado para N malhas.

R11 −R12 … −R1N −R21 R22 … −R2N : : : −RN1 −RN2 … RNN × im11 im21 : imN1 = vs11 vs21 : vsN1

#C.1#

[R] [i_m] = [v_s] #B.1#. Onde:

[R]: matriz de resistências. Conforme #C.1#, é uma matriz N×N simétrica tal que:

R_ii = soma das resistências na malha i.


R_ij = soma das resistências comuns às malhas i e j.

[i_m]: matriz das correntes. De coluna N×1 tal que i_mi1 = corrente da malha i.

[v_s]: matriz de tensões. De coluna N×1 tal que v_si1 = soma das fontes de tensão na malha i (positivo se corrente da fonte no mesmo sentido da corrente da malha).

Análise de circuitos por malhas - Exemplos

No exemplo da Figura 01, pede-se determinar as correntes i₁, i₂ e i₂ com o uso do método das malhas.

Fig 01

Este circuito é bastante simples e não oferece maiores dificuldades para montagem do sistema de equações de acordo com o modelo informado na página anterior.

Deve-se notar que a fonte v_s2 (9 V) está em ambas as malhas, significando valores de sinais opostos na matriz de tensões.

O resultado do sistema (#A.1#) é i_m1 = 2 A e i_m2 = 1 A. Portanto, as correntes do circuito são:

2+3 −3 −3 6+3 × im1 im2 = 16 − 9 9 − 6

#A.1#

i₁ = i_m1 = 2 A.

i₃ = i_m2 = 1 A.

i₂ = i₁ − i₃ = 1 A.

Circuito com fonte de corrente com resistência em paralelo

Fig 02

No modelo, visto na página anterior, do sistema de equações lineares para análise por malhas, não há parâmetros para fontes de corrente.

O circuito da Figura 02 apresenta a fonte de corrente i_s1 em paralelo com a resistência R₂.

É possível, então, identificar uma malha i_m3 com corrente predefinida, igual à corrente da fonte (1 A).

Fig 02A

Essa associação equivale a uma fonte de tensão v_is1 = R₂ i_s1 = 10 V em série com R₂.

A Figura 02A exibe o circuito equivalente, que apresenta fontes apenas de tensão e, por isso, pode ser facilmente resolvido com o sistema de equações mencionado.

5+10+15 −15 −15 6+15 × im1 im2 = 10+50 −30

#B.1#

A solução do sistema #B.1# é i_m1 = 2 A e i_m2 = 0.

Com esses valores e o anterior i_m3 = 1 A, as correntes i₁, i₂, i₃, i₄ e i₅ do circuito original (Figura 02) podem ser calculadas.

Fig 03

Circuito com fonte de corrente compartilhada e resistência em paralelo

No circuito de exemplo da Figura 03, a fonte de corrente i_s2 e a resistência paralela R₅ estão no interior, sugerindo um compartilhamento entre malhas.

Fig 03A

O circuito é redesenhado na Figura 03A para a conversão da fonte, isto é,

v_is2 = R₅ i_s2 = 6 × 3 = 18 V.

Similar ao anterior, há uma malha de de corrente predefinida por uma fonte de corrente

i_m3 = i_s1 = 7 A.

Deve-se notar, entretanto, que a fonte de corrente i_s1 (7 A) não pode ser convertida. Neste caso, consideram-se as quedas de tensão em R₃ (8 × 7 = 56 V) e em R₅ (6 × 7 = 42 V) na matriz de fontes de tensão.

4+2+8 −2 −2 2+10+6 × im1 im2 = 20+56 18+42

#C.1#

O resultado do sistema #C.1# é

i_m1 = 6 A.

i_m2 = 4 A.

Fig 04

Circuito com fontes de corrente compartilhadas por malhas

No circuito de exemplo da Figura 04, a fonte de corrente i_s2 não pode ser convertida diretamente porque o conjunto em paralelo (série R₁ e R₂) tem uma ligação central.

Fig 04A

Similar aos circuitos anteriores, essa fonte forma uma malha de corrente predefinida i_m3 = −1 A.

A malha assim formada pode ser considerada equivalente a duas fontes de mesma corrente conforme Figura 04A.

Nessa configuração, é possível a conversão em fontes de tensão. Ver Figura 04B.

Fig 04B

Resta agora a fonte de corrente i_s1, que não admite conversão. A solução para esse caso é usar o conceito de supermalha, isto é, uma malha formada por duas que partilham a mesma fonte de corrente.

Na Figura 04B, i_m1 é a supermalha formada a partir das anteriores (Figura 04A) i_m1 e i_m2.

Entretanto, na supermalha, não se pode supor a mesma corrente em toda a sua extensão. Assim, para R₂ e R₃, a corrente i_m1 deve ser acrescida de i_s1. Isso equivale a uma queda de tensão (R₂ + R₃) i_s1, que pode ser considerada na matriz de fontes de tensão

2+2+6 × im1 = 10−2−2−(2+6)×2

#D.1#

E o sistema de equações (#D.1#) tem apenas uma variável. O resultado é

i_m1 = −1 A.

O valor acima vale para a parte à esquerda de i_s1 na Figura 04B. Para a parte à direita, que corresponde a i_m2 da Figura 04, ocorre a relação

i_m2 = i_m1 + i_s1 = −1 + 2 = 1 A. Com esses valores e i_m3 = −1 A, as correntes do circuito podem ser determinadas.

Exemplo de análise: ponte resistiva

Fig 01

Seja o circuito de ponte de resistores conforme Figura 01 ao lado.

Deseja-se saber a resistência equivalente entre os terminais a e b.

Deve-se notar que essa resistência equivalente não pode, para este caso, ser calculada através de fórmulas de associações de resistores.

A seguir, são demonstrados os cálculos através dos métodos já vistos de análise de nós e de malhas.

Fig 02

Na Figura 02, o circuito anterior é redesenhado para uma disposição mais clara.

A fonte v_s mantém essa tensão entre os terminais, de forma que, considerando um deles referência, os nós de tensão desconhecida são v₁ e v₂.

No quadro abaixo (#A.1#), o sistema de equações lineares, conforme modelo visto em página anterior, para análise nodal desse circuito.

1/2+1/8+1/4 −1/4 −1/4 1/3+1/12+1/4 × v1 v2 = vs/2 vs/3

#A.1#

A solução de #A.1# é v₁ = v₂ = (4/5) v_s. E a corrente i é calculada por

i = v₁/8 + v₂/12. Substituindo, i = (25/150) v_s. E a resistência R_ab = v_s/i = 150/25 = 6 Ω.

Fig 03

A Figura 03 apresenta o circuito da ponte para análise por malhas. Neste caso, há uma fonte de corrente i_s, que forma a malha de corrente definida i_m3 = i_s. As malhas a calcular são i_m1 e i_m2 conforme indicado.

A malha i_m3 produz quedas de tensão em R₁ e em R₄, que são consideradas na matriz de fontes de tensão no sistema de equações #B.1#.

2+3+4 −4 −4 12+8+4 × im1 im2 = 2 is 8 is

#B.1#

A solução de #B.1# é i_m1 = i_m2 = (2/5) i_s. Assim, a tensão entre a e b é v_ab = 3 i_m1 + 12 i_m2 = 6 i_s. Ou R_ab = 6 Ω.

A igualdade com o resultado anterior era era naturalmente esperada.

Ponte de Wheatstone

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O circuito do tópico anterior foi inventado por Samuel Christie, cientista inglês, em 1833. Foi aprimorado em 1843 por outro cientista inglês, Charles Wheatstone. Por isso, ficou conhecida com o nome deste último.

A função original do circuito, que permanece até hoje, é a medição de grandezas elétricas.

Fig 01

No circuito da Figura 01, a ponte, alimentada com uma tensão v_s, tem os resistores de valores conhecidos R₁ e R₂. R₄ é também conhecido, mas é ajustável com uma escala, de forma que seu valor pode ser lido com precisão. R_x é o resistor cuja resistência se deseja determinar.

O voltímetro V (resistência interna R_m) indica a tensão entre os nós v₁ e v₂. O resistor R₄ é ajustado até essa tensão se tornar nula, ou seja, v₁ = v₂.

Se a diferença de potencial entre v₁ e v₂ é nula, a corrente através de R_m também é nula. Assim, na análise de malhas (#B.1# do tópico anterior), deve-se ter i_m1 = i_m2 = i_m.

R1+R2+Rm −Rm −Rm Rx+R4+Rm × im im = R1 is R4 is

#A.1#

O sistema de equações #A.1# deste tópico é o #B.1# do tópico anterior com a substituição dos valores numéricos por símbolos e a igualdade de correntes acima.

Isolando i_m das duas equações,

i_m = R₁ i_s / (R₁ + R₂) e i_m = R₄ i_s / (R_x + R₄). Igualando, R₁ / (R₁ + R₂) = R₄ / (R_x + R₄).

Após simplificação, o resultado é R₁ R_x = R₂ R₄ #B.1#.

Isso significa que, na condição de tensão nula entre v₁ e v₂, o valor de R_x só depende dos valores dos demais resistores e pode ser facilmente calculado se eles são conhecidos.

A medição com ponte de Wheatstone pode apresentar elevada precisão, uma vez que o processo é comparativo, não depende da precisão do voltímetro V, que basicamente deve ter sensibilidade adequada para a indicação de zero. Com uso de tensões alternadas, grandezas como capacitância, indutância e impedância podem ser medidas.