Representação complexa para tensão e corrente senoidais

Representação complexa para tensão e corrente senoidais

Em páginas anteriores pode ser visto que a análise de circuitos de corrente alternada com o uso de funções trigonométricas implica equações diferenciais trabalhosas e certa dificuldade de visualização, mesmo nos casos mais simples.

Seja uma tensão senoidal genérica dada pela função co-seno e ângulo de fase (φ) nulo:

v = V_p cos ωt #A.1#.

Seja agora uma tensão fictícia representada pela função seno com os mesmos parâmetros e multiplicada por um fator a qualquer:

a V_p sen ωt #A.2#. Desde que co-seno e seno diferem apenas no deslocamento angular, pode-se supor que a resposta do circuito será na mesma proporção da anterior (#A.1#).

Considerando o princípio da superposição, pode-se também imaginar que essas duas parcelas podem ser somadas e, no resultado, a parcela correspondente a #A.1# pode ser recuperada:

V_p cos ωt + a V_p sen ωt #A.3#. Se ao fator a é atribuída a unidade imaginária (j = √−1), a expressão torna-se um número complexo, que pode ser dado em forma exponencial segundo a relação de Euler:

V = V_p cos ωt + j V_p sen ωt = V_p e^jωt #A.4#.

Portanto, a tensão original v (de #A.1#) é a parte real (Re) do número complexo acima, ou seja,

v = Re[ V ] = Re[ V_p e^jωt ] #A.5#.

Para a corrente senoidal, o procedimento é similar. Neste caso, é considerado um ângulo de fase φ. A tabela abaixo dá o resumo para ambas.

	Forma trigonométrica	Forma complexa exponencial
Tensão	v = Vp cos ωt	V = Vp ejωt	#B.1#
Corrente	i = Ip cos (ωt + φ)	I = Ip ej(ωt + φ)	#C.1#

Notar que a suposição de fase nula para tensão e φ para corrente é apenas uma questão de simplicidade. Podem ser perfeitamente considerados valores genéricos para cada (φ_v e φ_i, por exemplo).

A vantagem da representação complexa é evidente: operações como multiplicação, divisão, derivação e integração são significativamente mais simples com números complexos na forma exponencial.

Mais informações sobre números complexos podem ser consultadas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Impedância complexa

Na forma complexa da corrente alternada senoidal, o parâmetro equivalente à resistência dos circuitos de corrente contínua é denominado impedância complexa Z e é definido como:

Z = V / I #A.1#.

Considerando as formulações do tópico anterior, V = V_p e^jωt e I = I_p e^{j(ωt + φ)}, a divisão dos números complexos resulta em

Z = (V_p / I_p) e^−jφ #A.2#.

Notar que a impedância tem a mesma dimensão da resistência elétrica e que não é dependente do tempo. Nos próximos itens, fórmulas de impedância para os elementos básicos de circuito.

Fig 01

Resistor

Para um resistor de valor R percorrido por uma corrente I, a tensão é simplesmente

V = R I. Portanto, a impedância é

Z = V / I = R I / I = R #B.1#.

De acordo com a teoria dos números complexos, eles podem ser escritos em coordenadas retangulares na forma:

a + j b, onde a é a parte real e b, a imaginária, que são representadas nos eixos horizontal e vertical respectivamente.

Para maior clareza, pode-se dizer então que a impedância complexa do resistor é

Z_R = R + j 0 #B.2#.

Ou seja, é um número complexo com a parte imaginária nula. Graficamente, números complexos podem ser indicados por vetores de componentes iguais às suas partes reais e imaginárias. Ver Figura 01 para esse caso.

Fig 02

Indutor

Seja uma corrente senoidal na forma complexa de acordo com o tópico anterior:

I = I_p e^{j(ωt + φ)}. A soma no expoente pode ser separada:

I = I_p e^{j φ} e^{j ωt}. Se essa corrente circula em um indutor de indutância L, a tensão no mesmo, segundo relações da eletricidade, é dada por:

V = L dI/dt = j ω L I_p e^{j φ} e^{j ωt}. E a impedância é Z_L = V/I = L dI/dt = j ω L I_p e^{j φ} e^{j ωt} / [I_p e^{j φ} e^{j ωt}].

Simplificando, Z_L = j ω L #C.1#. Ou, para maior clareza,

Z_L = 0 + j ω L #C.2#.

Portanto, a impedância complexa de um indutor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a ωL, que é a sua reatância indutiva X_L, conforme visto em página anterior. Representação gráfica na Figura 02.

Fig 03

Capacitor

No caso do capacitor, a relação entre tensão e corrente pode ser indicada pela fórmula dada na página Correntes alternadas I-30:

I = C dV/dt.

A tensão complexa, V = V_p e^jωt, pode ser introduzida nessa fórmula:


I = j ω C V_p e^jωt. E a impedância é Z_C = V/I = 1 / (j ω C) = − j / (ω C) #D.1#. De forma mais clara,

Z_C = 0 − j / (ω C) #D.2#.

Ou seja, a impedância complexa para o capacitor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a −1 / (ω C), que é o negativo da sua reatância capacitiva X_C. Ver Figura 03.

Fig 04

Caso genérico

Para um circuito qualquer, composto por resistores, indutores e capacitores, é lícito supor que a impedância seja dada por:

Z = R + j X #E.1#. Onde,

R é o resultado da combinação das resistências e X é o resultado da combinação de reatâncias indutivas e capacitivas.

A Figura 04 dá a representação gráfica para esse caso. O valor de X pode ser positivo ou negativo, dependendo da predominância de indutores ou de capacitores.

A igualdade acima (#E.1#) equivale á forma exponencial de #A.2#, Z = (V_p / I_p) e^−jφ.

Considerando, sem negrito, Z = V_p / I_p, tem-se

Z = Z e^−jφ = R + j X #F.1#.

De acordo com relações de números complexos,

Z² = R² + X² #F.2#.

φ = tan⁻¹ X / R #F.3#. Esse ângulo equivale à diferença de fase entre corrente e tensão.

Impedância complexa (cont)

Na página anterior foram dados os conceitos e desenvolvidas fórmulas para os elementos básicos de circuitos. A tabela #A.1# é um resumo dos resultados obtidos nessa página.

#A.1#	Z retang	Z exp
Resistor	R + j 0	R
Indutor	0 + j ω L	ω L ejπ/2
Capacitor	0 − j / (ω C)	[ 1/(ω C) ] e−jπ/2

Além do formato em coordenadas retangulares, há uma coluna para o formato exponencial, que pode ser facilmente deduzido a partir dos conceitos de números complexos.

Mais informações sobre números complexos podem ser vistas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Fig 01

Associações de impedâncias

Com o uso das leis de Kirchhoff, é possível deduzir facilmente que agrupamentos em paralelo e em série de impedâncias têm o mesmo comportamento dos de resistências.

Na associação em paralelo conforme (a) da Figura 01, a impedância equivalente é:

(1/Z_eq) = (1/Z₁) + (1/Z₂) + … + (1/Z_n) #B.1#.

Para associação em série conforme (b) da figura, Z_eq = Z₁ + Z₂ + … + Z_n #B.2#.

Fasores

Na página anterior foram vistas representações complexas considerando, por simplicidade, ângulo de fase nulo para tensão e qualquer φ para a corrente. Assim, na forma trigonométrica,

v = V_p cos ωt.
i = I_p cos (ωt + φ).

Entretanto, no caso mais genérico, deve ser considerado ângulos de fase para ambas. Supondo x uma grandeza que pode ser tanto tensão quanto corrente, a forma senoidal é dada por:

x = X_p cos (ωt + φ).

Na representação complexa exponencial,

X = X_p e^{j(ωt + φ)} #A.1#. A soma do expoente pode ser separada:

X = X_p e^jφ e^jωt #A.2#.

Na relação acima, pode-se notar que o termo e^jωt é a parte dependente do tempo. Na grande maioria das análises de circuitos CA, há uma freqüência (e, por conseqüência, velocidade angular ω) única para todos os componentes. Seja o exemplo abaixo.

Um laço de circuito tem as tensões V₁, V₂ e V₃ tais que V₁ = V₂ + V₃. Usando a forma #A.2#,

V_1p e^jφ₁ e^jωt = V_2p e^jφ₂ e^jωt + V_3p e^jφ₃ e^jωt.

Assim, esse termo é repetido em todas as parcelas das equações e pode ser suprimido. E a representação complexa da grandeza (tensão ou corrente) fica ainda mais simples:

X = X_p e^jφ #B.1#.

Essa forma é denominada fasor para a grandeza X. Portanto, o fasor acima contém apenas informação do valor de pico X_p e do ângulo de fase φ.

É praxe distinguir o fasor através do uso de coordenadas polares com o sinal de ângulo, aqui indicado pela seqüência "/_". Normalmente são usados valores eficazes em lugar dos valores de pico. Unidades de ângulo podem ser graus ou radianos.

• Tensão: V_p/√2 /_φ #C.1#. Exemplo: 120 /_−30° volts.

• Corrente: I_p/√2 /_φ #C.2#. Exemplo: 10 /_π/2 ampères.

Desde que os fasores não têm a variável tempo, os vetores que indicam os números complexos são estáticos e permitem a fácil visualização gráfica das intensidades de tensões e correntes e diferenças de fases entre elas.


Exemplo: Teorema de Thévenin

Com o uso de impedâncias complexas, pode ser aplicado a circuitos AC de forma similar à dos circuitos CC (ver Circuitos elétricos I-80: Correntes contínuas): um circuito de dois terminais de saída como o da Figura 01 equivale à forma simples da Figura 02 com:

V_th = V_ab (tensão com os terminais abertos).
Z_th = V_th / I_cc, onde I_cc é a corrente com os terminais em curto.

Nesta análise são usados conceitos e fórmulas, dados na série sobre correntes contínuas, que também são válidos para circuitos AC, como leis de Kirchhoff e divisores de tensão.

Sejam dados os valores numéricos para a Figura 01 (é também usual indicar as impedâncias complexas em coordenadas polares):

Fig 01

V = 12 V /_ 0 rad.
Z₁ = 3 Ω /_ 0,5 rad.
Z₂ = 2 Ω /_ 0,5 rad.
Z₃ = 3 Ω /_ 0,5 rad.

Sem carga entre os terminais a e b, não há corrente em Z₂. Portanto, a tensão é definida pelo divisor de tensão formado por Z₁ e Z₃.


V_th = V Z₃ / (Z₁ + Z₃) = (12 /_ 0) (3 /_ 0,5) / [ (3 /_ 0,5) + (3 /_ 0,5) ] = 6 V /_ 0 rad.

Fig 02

Com os terminais em curto, a fonte alimenta Z₁ em série com a associação paralela Z₂ e Z₃.

Z₂ || Z₃ = (Z₂ Z₃) / (Z₂ + Z₃).

Z₂ || Z₃ = (6 /_ 1) / (5 /_ 0,5) = (1,2 /_ 0,5).

Calculando a associação em série, Z₁ + (Z₂ || Z₃) = (4,2 Ω /_ 0,5 rad).

E a corrente na fonte é dada por

I = V / [ Z₁ + (Z₂ || Z₃) ] = (12 /_ 0) / (4,2 /_ 0,5) = (2,8571 /_ −0,5).

Mas essa é a corrente na fonte. Com os terminais em curto, a corrente que passa por eles é a corrente em Z₂, que fica em paralelo com Z₃. Portanto,

I_cc = I Z₃ / (Z₂ + Z₃) = I / (1 + Z₂/Z₃ ).

I_cc = (2,8571 /_ −0,5) / [ (1 /_ 0) + (2 /_ 0,5)/(3 /_ 0,5) ] = (1,7143 /_ −0,5).

Z_th = V_th / I_cc = (6 /_ 0) / (1,7143 /_ −0,5) = 3,5 Ω /_ 0,5 rad.

Correntes não senoidais

Correntes não senoidais

Quando a forma da corrente elétrica não é senoidal pura, a análise exige em geral o conceito de Série de Fourier. A página desse link dá algumas informações sobre a matéria.

De modo resumido, pode-se dizer que um sinal periódico qualquer pode ser considerado uma soma de senóides: a primeira, de freqüência mais baixa, é denominada fundamental e as seguintes, de freqüências múltiplas inteiras da fundamental, são denominadas harmônicas.

Este tópico dá exemplos de cálculo do valor eficaz de alguns tipos usuais de correntes não senoidais.

Fig 01

Forma quadrada

Para esse tipo de sinal, representado graficamente na Figura 01, não há necessidade de cálculo especial.

Lembrar que o valor eficaz é calculado pela dissipação de potência em um resistor.

Mas a potência dissipada em um resistor independe do sentido da corrente. Desde que, no sinal quadrado, a corrente tem valor absoluto constante e igual a I_p (só o sentido varia), ele pode ser considerado contínuo para efeito de dissipação de potência. Então,

I_e = I_p #A.1#.

Fig 02

Forma dente de serra

Considerando um ciclo a parte linear entre o menor valor e o maior valor,

i = ( (2 I_p t ) / T ) − I_p = I_p (−1 + 2t/T) #B.1#.

Nessa fórmula, supõe-se tempo inicial nulo, t = 0, no ponto de menor valor.

O valor eficaz é a corrente contínua I_e que dissipa a mesma potência média da corrente i em um resistor genérico de valor R:

(1/T) ∫_0,T R I_e² dt = (1/T) ∫_0,T R i² dt.

Resolvendo a primeira integral e simplificando,

I_e² = (1/T) ∫_0,T i² dt #C.1#.

Aplicando essa fórmula genérica para o valor de i conforme #B.1#,

I_e² = (1/T) ∫_0,T I_p (−1 + 2t/T)² dt.

I_e² = (1/T) I_p² { ∫_0,T dt − (4/T) ∫_0,T t dt + (4/T²) ∫_0,T t² dt } = (1/T) I_p² { T − 2 T + 4 T / 3 } = I_p² / 3.

Portanto, valor eficaz para a dente de serra da Figura 02:

I_e = I_p / √ 3 #D.1#.

Fig 03

Forma meia senóide

Série de Fourier para essa forma de onda:

i =
+ (2 I_p / π)
− (4 I_p / 3π) cos 2ωt
− (4 I_p / 15π) cos 4ωt − … #E.1#.

Desde que a contribuição de cada componente para a potência não depende das demais,

(I_e)² = (I_e0)² + (I_e1)² + (I_e2)² + …

Pode-se observar que apenas o componente fundamental (0) e a primeira harmônica (1) são significativos, sendo as demais de pequeno valor. Resolvendo de acordo com a fórmula anterior, chega-se a

I_e ≈ (2 I_p ) / (π) + (2 √ 2 I_p ) / (3π) #F.1#.

Notar que essa corrente tem um componente DC (primeiro termo do lado direito de #E.1#, 2 I_p /π) e que a sua contribuição está considerada no valor eficaz.