Representação complexa para tensão e corrente senoidais

Representação complexa para tensão e corrente senoidais

Em páginas anteriores pode ser visto que a análise de circuitos de corrente alternada com o uso de funções trigonométricas implica equações diferenciais trabalhosas e certa dificuldade de visualização, mesmo nos casos mais simples.

Seja uma tensão senoidal genérica dada pela função co-seno e ângulo de fase (φ) nulo:

v = V_p cos ωt #A.1#.

Seja agora uma tensão fictícia representada pela função seno com os mesmos parâmetros e multiplicada por um fator a qualquer:

a V_p sen ωt #A.2#. Desde que co-seno e seno diferem apenas no deslocamento angular, pode-se supor que a resposta do circuito será na mesma proporção da anterior (#A.1#).

Considerando o princípio da superposição, pode-se também imaginar que essas duas parcelas podem ser somadas e, no resultado, a parcela correspondente a #A.1# pode ser recuperada:

V_p cos ωt + a V_p sen ωt #A.3#. Se ao fator a é atribuída a unidade imaginária (j = √−1), a expressão torna-se um número complexo, que pode ser dado em forma exponencial segundo a relação de Euler:

V = V_p cos ωt + j V_p sen ωt = V_p e^jωt #A.4#.

Portanto, a tensão original v (de #A.1#) é a parte real (Re) do número complexo acima, ou seja,

v = Re[ V ] = Re[ V_p e^jωt ] #A.5#.

Para a corrente senoidal, o procedimento é similar. Neste caso, é considerado um ângulo de fase φ. A tabela abaixo dá o resumo para ambas.

	Forma trigonométrica	Forma complexa exponencial
Tensão	v = Vp cos ωt	V = Vp ejωt	#B.1#
Corrente	i = Ip cos (ωt + φ)	I = Ip ej(ωt + φ)	#C.1#

Notar que a suposição de fase nula para tensão e φ para corrente é apenas uma questão de simplicidade. Podem ser perfeitamente considerados valores genéricos para cada (φ_v e φ_i, por exemplo).

A vantagem da representação complexa é evidente: operações como multiplicação, divisão, derivação e integração são significativamente mais simples com números complexos na forma exponencial.

Mais informações sobre números complexos podem ser consultadas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Impedância complexa

Na forma complexa da corrente alternada senoidal, o parâmetro equivalente à resistência dos circuitos de corrente contínua é denominado impedância complexa Z e é definido como:

Z = V / I #A.1#.

Considerando as formulações do tópico anterior, V = V_p e^jωt e I = I_p e^{j(ωt + φ)}, a divisão dos números complexos resulta em

Z = (V_p / I_p) e^−jφ #A.2#.

Notar que a impedância tem a mesma dimensão da resistência elétrica e que não é dependente do tempo. Nos próximos itens, fórmulas de impedância para os elementos básicos de circuito.

Fig 01

Resistor

Para um resistor de valor R percorrido por uma corrente I, a tensão é simplesmente

V = R I. Portanto, a impedância é

Z = V / I = R I / I = R #B.1#.

De acordo com a teoria dos números complexos, eles podem ser escritos em coordenadas retangulares na forma:

a + j b, onde a é a parte real e b, a imaginária, que são representadas nos eixos horizontal e vertical respectivamente.

Para maior clareza, pode-se dizer então que a impedância complexa do resistor é

Z_R = R + j 0 #B.2#.

Ou seja, é um número complexo com a parte imaginária nula. Graficamente, números complexos podem ser indicados por vetores de componentes iguais às suas partes reais e imaginárias. Ver Figura 01 para esse caso.

Fig 02

Indutor

Seja uma corrente senoidal na forma complexa de acordo com o tópico anterior:

I = I_p e^{j(ωt + φ)}. A soma no expoente pode ser separada:

I = I_p e^{j φ} e^{j ωt}. Se essa corrente circula em um indutor de indutância L, a tensão no mesmo, segundo relações da eletricidade, é dada por:

V = L dI/dt = j ω L I_p e^{j φ} e^{j ωt}. E a impedância é Z_L = V/I = L dI/dt = j ω L I_p e^{j φ} e^{j ωt} / [I_p e^{j φ} e^{j ωt}].

Simplificando, Z_L = j ω L #C.1#. Ou, para maior clareza,

Z_L = 0 + j ω L #C.2#.

Portanto, a impedância complexa de um indutor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a ωL, que é a sua reatância indutiva X_L, conforme visto em página anterior. Representação gráfica na Figura 02.

Fig 03

Capacitor

No caso do capacitor, a relação entre tensão e corrente pode ser indicada pela fórmula dada na página Correntes alternadas I-30:

I = C dV/dt.

A tensão complexa, V = V_p e^jωt, pode ser introduzida nessa fórmula:


I = j ω C V_p e^jωt. E a impedância é Z_C = V/I = 1 / (j ω C) = − j / (ω C) #D.1#. De forma mais clara,

Z_C = 0 − j / (ω C) #D.2#.

Ou seja, a impedância complexa para o capacitor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a −1 / (ω C), que é o negativo da sua reatância capacitiva X_C. Ver Figura 03.

Fig 04

Caso genérico

Para um circuito qualquer, composto por resistores, indutores e capacitores, é lícito supor que a impedância seja dada por:

Z = R + j X #E.1#. Onde,

R é o resultado da combinação das resistências e X é o resultado da combinação de reatâncias indutivas e capacitivas.

A Figura 04 dá a representação gráfica para esse caso. O valor de X pode ser positivo ou negativo, dependendo da predominância de indutores ou de capacitores.

A igualdade acima (#E.1#) equivale á forma exponencial de #A.2#, Z = (V_p / I_p) e^−jφ.

Considerando, sem negrito, Z = V_p / I_p, tem-se

Z = Z e^−jφ = R + j X #F.1#.

De acordo com relações de números complexos,

Z² = R² + X² #F.2#.

φ = tan⁻¹ X / R #F.3#. Esse ângulo equivale à diferença de fase entre corrente e tensão.

Impedância complexa (cont)

Na página anterior foram dados os conceitos e desenvolvidas fórmulas para os elementos básicos de circuitos. A tabela #A.1# é um resumo dos resultados obtidos nessa página.

#A.1#	Z retang	Z exp
Resistor	R + j 0	R
Indutor	0 + j ω L	ω L ejπ/2
Capacitor	0 − j / (ω C)	[ 1/(ω C) ] e−jπ/2

Além do formato em coordenadas retangulares, há uma coluna para o formato exponencial, que pode ser facilmente deduzido a partir dos conceitos de números complexos.

Mais informações sobre números complexos podem ser vistas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Fig 01

Associações de impedâncias

Com o uso das leis de Kirchhoff, é possível deduzir facilmente que agrupamentos em paralelo e em série de impedâncias têm o mesmo comportamento dos de resistências.

Na associação em paralelo conforme (a) da Figura 01, a impedância equivalente é:

(1/Z_eq) = (1/Z₁) + (1/Z₂) + … + (1/Z_n) #B.1#.

Para associação em série conforme (b) da figura, Z_eq = Z₁ + Z₂ + … + Z_n #B.2#.

Fasores

Na página anterior foram vistas representações complexas considerando, por simplicidade, ângulo de fase nulo para tensão e qualquer φ para a corrente. Assim, na forma trigonométrica,

v = V_p cos ωt.
i = I_p cos (ωt + φ).

Entretanto, no caso mais genérico, deve ser considerado ângulos de fase para ambas. Supondo x uma grandeza que pode ser tanto tensão quanto corrente, a forma senoidal é dada por:

x = X_p cos (ωt + φ).

Na representação complexa exponencial,

X = X_p e^{j(ωt + φ)} #A.1#. A soma do expoente pode ser separada:

X = X_p e^jφ e^jωt #A.2#.

Na relação acima, pode-se notar que o termo e^jωt é a parte dependente do tempo. Na grande maioria das análises de circuitos CA, há uma freqüência (e, por conseqüência, velocidade angular ω) única para todos os componentes. Seja o exemplo abaixo.

Um laço de circuito tem as tensões V₁, V₂ e V₃ tais que V₁ = V₂ + V₃. Usando a forma #A.2#,

V_1p e^jφ₁ e^jωt = V_2p e^jφ₂ e^jωt + V_3p e^jφ₃ e^jωt.

Assim, esse termo é repetido em todas as parcelas das equações e pode ser suprimido. E a representação complexa da grandeza (tensão ou corrente) fica ainda mais simples:

X = X_p e^jφ #B.1#.

Essa forma é denominada fasor para a grandeza X. Portanto, o fasor acima contém apenas informação do valor de pico X_p e do ângulo de fase φ.

É praxe distinguir o fasor através do uso de coordenadas polares com o sinal de ângulo, aqui indicado pela seqüência "/_". Normalmente são usados valores eficazes em lugar dos valores de pico. Unidades de ângulo podem ser graus ou radianos.

• Tensão: V_p/√2 /_φ #C.1#. Exemplo: 120 /_−30° volts.

• Corrente: I_p/√2 /_φ #C.2#. Exemplo: 10 /_π/2 ampères.

Desde que os fasores não têm a variável tempo, os vetores que indicam os números complexos são estáticos e permitem a fácil visualização gráfica das intensidades de tensões e correntes e diferenças de fases entre elas.


Exemplo: Teorema de Thévenin

Com o uso de impedâncias complexas, pode ser aplicado a circuitos AC de forma similar à dos circuitos CC (ver Circuitos elétricos I-80: Correntes contínuas): um circuito de dois terminais de saída como o da Figura 01 equivale à forma simples da Figura 02 com:

V_th = V_ab (tensão com os terminais abertos).
Z_th = V_th / I_cc, onde I_cc é a corrente com os terminais em curto.

Nesta análise são usados conceitos e fórmulas, dados na série sobre correntes contínuas, que também são válidos para circuitos AC, como leis de Kirchhoff e divisores de tensão.

Sejam dados os valores numéricos para a Figura 01 (é também usual indicar as impedâncias complexas em coordenadas polares):

Fig 01

V = 12 V /_ 0 rad.
Z₁ = 3 Ω /_ 0,5 rad.
Z₂ = 2 Ω /_ 0,5 rad.
Z₃ = 3 Ω /_ 0,5 rad.

Sem carga entre os terminais a e b, não há corrente em Z₂. Portanto, a tensão é definida pelo divisor de tensão formado por Z₁ e Z₃.


V_th = V Z₃ / (Z₁ + Z₃) = (12 /_ 0) (3 /_ 0,5) / [ (3 /_ 0,5) + (3 /_ 0,5) ] = 6 V /_ 0 rad.

Fig 02

Com os terminais em curto, a fonte alimenta Z₁ em série com a associação paralela Z₂ e Z₃.

Z₂ || Z₃ = (Z₂ Z₃) / (Z₂ + Z₃).

Z₂ || Z₃ = (6 /_ 1) / (5 /_ 0,5) = (1,2 /_ 0,5).

Calculando a associação em série, Z₁ + (Z₂ || Z₃) = (4,2 Ω /_ 0,5 rad).

E a corrente na fonte é dada por

I = V / [ Z₁ + (Z₂ || Z₃) ] = (12 /_ 0) / (4,2 /_ 0,5) = (2,8571 /_ −0,5).

Mas essa é a corrente na fonte. Com os terminais em curto, a corrente que passa por eles é a corrente em Z₂, que fica em paralelo com Z₃. Portanto,

I_cc = I Z₃ / (Z₂ + Z₃) = I / (1 + Z₂/Z₃ ).

I_cc = (2,8571 /_ −0,5) / [ (1 /_ 0) + (2 /_ 0,5)/(3 /_ 0,5) ] = (1,7143 /_ −0,5).

Z_th = V_th / I_cc = (6 /_ 0) / (1,7143 /_ −0,5) = 3,5 Ω /_ 0,5 rad.