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quarta-feira, 29 de julho de 2009

Circuito RC



No circuito RC da Figura 01, é suposto que, inicialmente, a chave está na posição desligada e que não há nenhuma carga no capacitor.

Se a chave é comutada para a posição ligada, pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o laço de circuito que é formado:

V + Ri + q = 0 #A.1#
C

Derivando a equação em relação ao tempo (lembrar que dV/dt = 0 porque V, tensão da bateria, é constante),

Circuito RC com chave
Figura 01
R di + 1 dq = 0 #A.2#
dt C dt

Mas, por definição, corrente elétrica é i = dq/dt. Substituindo e rearranjando,

di = − 1 dt #A.3#
i RC


Integrando ambos os lados, di = − 1 dt #B.1#. A solução é:
i RC

ln i = − 1 t + c #B.2#. Onde c é uma constante.
RC

Pode-se escrever a solução na forma exponencial:

i = e[(−1/RC) t + c] = ec e(−1/RC) t = k e(−1/RC) t #C.1#. Onde

k = ec #C.2#.

No instante t = 0, a corrente é supostamente i = V/R porque o capacitor está completamente descarregado. Fazendo t = 0 na equação anterior, conclui-se que

k = V/R #C.3#. E o resultado final é

i = V e(−1/RC) t #D.1#
R

Corrente e tensão transitórias
Figura 02
Para o capacitor, q = C vC . Assim, vC = 1 q #E.1#
C

Da relação i = dq , tem-se q = i dt #E.2#
dt

Substituindo, vC = 1 0,t i dt #E.3#
C

Com o valor de i dado por #D.1#,

vC = 1 0,t V e(−1/RC) t dt = V (RC) [e(−1/RC) t]0,t #E.4#
C R RC

Portanto, vC = V [1 − e(−1/RC) t] #F.1#.

O produto RC nas equações #D.1# e #F.1# tem dimensão de tempo e é denominado constante de tempo do circuito. Curvas típicas das variações de i e vC para essas equações são dadas na Figura 02.

Uma vez ligada a chave, a corrente no circuito (i) tende para zero e a tensão no capacitor (vC) tende para a tensão da bateria V. A velocidade da variação depende da constante de tempo RC.



Exemplo de circuito RLC paralelo

| Topo pág | Fim pág |

Este tópico é uma questão de prova (Inmetro 2007, com adaptações) e demonstra apenas a solução para os quesitos (respostas tipo certo / errado).

O circuito a seguir é excitado por uma fonte de corrente independente i(t), com valor constante no tempo, que é colocada em operação a partir do instante t = 0 s. Nesse instante, o indutor e o capacitor não armazenam energia.

Com base nas informações acima, julgue os itens a seguir.

107) A equação diferencial a seguir descreve corretamente o circuito.

i(t) = iL(t) + 2 diL(t) + 2 d2iL(t)
dt dt2

Exemplo de circuito RLC
Figura 01
No circuito observa-se que a mesma tensão v(t) está presente em cada elemento.

De acordo com a relação básica para o indutor,

v(t) = L diL(t) = 2 diL(t)
dt dt


A corrente no resistor é

iR(t) = v(t) = 2 diL(t)
R dt

A relação básica do capacitor é q(t) = C v(t). Derivando em relação ao tempo e considerando a definição de corrente elétrica, i = dq/dt,

iC(t) = dq = C dv(t) = 2 d2iL(t)
dt dt dt2

Segundo a lei das correntes de Kirchhoff,

i(t) = iR(t) + iL(t) + iC(t).

Substituindo os valores, chega-se à equação inicial. Portanto, resposta: Certo.


108) Em regime permanente, a tensão no capacitor é nula.

Desde que a resistência elétrica de um indutor ideal é nula, em regime permanente a tensão é nula porque não há variação de corrente. Então, a tensão no capacitor (que é a mesma) também é nula. Resposta: Certo.


109) Suponha que no tempo t = ∞ a chave em série com a fonte de corrente seja aberta. A partir desse instante, o indutor e o capacitor terão, ambos, energia armazenada nula.

Essa questão pode ser esclarecida com as fórmulas do eletromagnetismo para energia armazenada no indutor WL e no capacitor WC.

WL = 1 L i2
2

WC = 1 C v2
2

No tempo infinito, a tensão será nula, mas a corrente não. Assim, a energia armazenada no indutor não será nula. Resposta: Errado.

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