Circuito RC

No circuito RC da Figura 01, é suposto que, inicialmente, a chave está na posição desligada e que não há nenhuma carga no capacitor.

Se a chave é comutada para a posição ligada, pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o laço de circuito que é formado:

V + Ri +	q	= 0	#A.1#
	C

Derivando a equação em relação ao tempo (lembrar que dV/dt = 0 porque V, tensão da bateria, é constante),

Figura 01

R	di	+	1		dq	= 0	#A.2#
	dt		C		dt

Mas, por definição, corrente elétrica é i = dq/dt. Substituindo e rearranjando,

di	= −	1	dt	#A.3#
i		RC

Integrando ambos os lados,	∫	di	= −	1	∫dt	#B.1#. A solução é:
		i		RC

ln i = −	1	t + c	#B.2#. Onde c é uma constante.
	RC

Pode-se escrever a solução na forma exponencial:

i = e[(−1/RC) t + c] = ec e(−1/RC) t = k e(−1/RC) t #C.1#. Onde

k = ec #C.2#.

No instante t = 0, a corrente é supostamente i = V/R porque o capacitor está completamente descarregado. Fazendo t = 0 na equação anterior, conclui-se que

k = V/R #C.3#. E o resultado final é

i =	V	e(−1/RC) t	#D.1#
	R

Figura 02

Para o capacitor,	q = C vC	. Assim,	vC =	1	q	#E.1#
				C

Da relação	i =	dq	, tem-se	q = ∫ i dt	#E.2#
		dt

Substituindo,	vC =	1	∫0,t i dt	#E.3#
		C

Com o valor de i dado por #D.1#,

vC =	1	∫0,t	V	e(−1/RC) t dt	=	V	(RC)	[e(−1/RC) t]0,t		#E.4#
	C		R			RC

Portanto, vC = V [1 − e(−1/RC) t] #F.1#.

O produto RC nas equações #D.1# e #F.1# tem dimensão de tempo e é denominado constante de tempo do circuito. Curvas típicas das variações de i e v_C para essas equações são dadas na Figura 02.

Uma vez ligada a chave, a corrente no circuito (i) tende para zero e a tensão no capacitor (v_C) tende para a tensão da bateria V. A velocidade da variação depende da constante de tempo RC.

Exemplo de circuito RLC paralelo

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Este tópico é uma questão de prova (Inmetro 2007, com adaptações) e demonstra apenas a solução para os quesitos (respostas tipo certo / errado).

O circuito a seguir é excitado por uma fonte de corrente independente i(t), com valor constante no tempo, que é colocada em operação a partir do instante t = 0 s. Nesse instante, o indutor e o capacitor não armazenam energia.

Com base nas informações acima, julgue os itens a seguir.

107) A equação diferencial a seguir descreve corretamente o circuito.

i(t) =	iL(t)	+ 2	diL(t)	+ 2	d2iL(t)
			dt		dt2

Figura 01

No circuito observa-se que a mesma tensão v(t) está presente em cada elemento.

De acordo com a relação básica para o indutor,

v(t) = L	diL(t)	= 2	diL(t)
	dt		dt

A corrente no resistor é

iR(t)	=	v(t)	= 2	diL(t)
		R		dt

A relação básica do capacitor é q(t) = C v(t). Derivando em relação ao tempo e considerando a definição de corrente elétrica, i = dq/dt,

iC(t)	=	dq	= C	dv(t)	= 2	d2iL(t)
		dt		dt		dt2

Segundo a lei das correntes de Kirchhoff,

i(t) = iR(t) + iL(t) + iC(t).

Substituindo os valores, chega-se à equação inicial. Portanto, resposta: Certo.


108) Em regime permanente, a tensão no capacitor é nula.

Desde que a resistência elétrica de um indutor ideal é nula, em regime permanente a tensão é nula porque não há variação de corrente. Então, a tensão no capacitor (que é a mesma) também é nula. Resposta: Certo.


109) Suponha que no tempo t = ∞ a chave em série com a fonte de corrente seja aberta. A partir desse instante, o indutor e o capacitor terão, ambos, energia armazenada nula.

Essa questão pode ser esclarecida com as fórmulas do eletromagnetismo para energia armazenada no indutor W_L e no capacitor W_C.

WL	=	1	L i2
		2

WC	=	1	C v2
		2

No tempo infinito, a tensão será nula, mas a corrente não. Assim, a energia armazenada no indutor não será nula. Resposta: Errado.