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quinta-feira, 23 de julho de 2009

Integrador e diferenciador

Integrador e diferenciador


O circuito da Figura 01 abaixo é o circuito do tópico Filtro RC. A tensão de saída é

vo = R i = R Ip sen ωt = R { Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ] } sen ωt #A.1#, de acordo com igualdades deduzidas no mesmo tópico. Simplificando,

Circuito RC como integrador e diferenciador
Fig 01
vo = Vp / √ [ 1 + (1/RωC)2 ] sen ωt #A.2#.

Supõe-se agora que a freqüência (e, portanto, a velocidade angular ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é pequeno,

RωC << style="color: orangered;">#B.1#.


Nessa condição, a igualdade anterior (#A.2#) pode ser escrita na forma aproximada

vo ≈ Vp RωC sen ωt #B.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #C.1#.

Considerando a hipótese #B.1#, φ ≈ − π/2 #C.2#.

A tensão de entrada é vi = Vp sen(ωt + φ) #C.3#.

vi = Vp sen(ωt − π/2) = Vp cos ωt #C.4#.

Se tomada a derivada de vi em relação ao tempo, o resultado é

dvi/dt = − Vp ω sen ωt #C.5#.

Da igualdade anterior #B.2#, conclui-se facilmente que

vo ≈ − RC dvi/dt #D.1#.

Ou seja, na aproximação considerada, o circuito atua como um diferenciador.


Analisa-se agora a tensão no capacitor vC.

Da relação básica do capacitor, a carga elétrica é q = C vC. Mas a corrente é dada por i = dq/dt. Portanto,

i = C dvC/dt #E.1#.

A tensão é obtida pela integração da expressão acima:

vC = ∫ (1/C) i dt = (1/C) ∫ i dt = (1/C) ∫ Ip sen ωt dt = − ( Ip / ωC ) cos ωt #E.2#.

Segundo #E.2# do tópico Filtro RC,

Ip = Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ].

Substituindo esse valor de Ip em #E.2# deste tópico,

vC = − { Vp / √ [R2 + (1/ωC)2] / ωC } cos ωt = − { Vp / R √ [1 + (1/RωC)2] / ωC } cos ωt #E.3#.

Neste caso, supõe-se que a freqüência (e, portanto, ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é muito grande,

RωC >> 1 #F.1#.

E a igualdade anterior é escrita de forma aproximada:

vC ≈ − [ Vp / (RωC) ] cos ωt #F.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #G.1#.

Portanto, na hipótese #F.1#, φ ≈ 0 #G.2#.

Pela definição de tensão alternada, a tensão de entrada é

vi = Vp sen(ωt + φ) ≈ Vp sen ωt porque φ ≈ 0 #G.3#.

Da igualdade anterior #F.2#, pode-se concluir que, neste caso, vale

vC ≈ (1/RC) ∫ vi dt #H.1#.

Portanto, o circuito funciona como um integrador nas condições mencionadas, para tensão de saída tomada sobre o capacitor.

Filtro RL e RC

Filtro RL


No circuito da Figura 01, a série RL é alimentada com uma tensão supostamente senoidal vi. Deseja-se saber a tensão sobre o resistor vo em função da tensão de entrada e dos valores R e L.

De acordo com a lei das tensões de Kirchhoff,

vi = vR + vL = R i + L di/dt #A.1#.

Se a tensão de entrada vi é senoidal, a corrente i também deve ser, Assim, ela tem a formulação:

i = Ip sen ωt. E a derivada em relação ao tempo é di/dt = ω Ip cos ωt.Substituindo em #A.1#,

Filtro RL
Fig 01
vi = R Ip sen ωt + ω L Ip cos ωt #B.1#.

Mas vi é a tensão alternada de uma fonte senoidal. Portanto,

vi = Vp sen(ωt + φ) #B.2#, onde φ é o ângulo de fase entre tensão e corrente.

Usando relações trigonométricas,

vi = Vp cos φ sen ωt + Vp sen φ cos ωt #C.1#.

Substituindo em #B.1#,

R Ip sen ωt + ω L Ip cos ωt = Vp cos φ sen ωt + Vp sen φ cos ωt #C.2#.

Pode-se supor que os coeficientes de sen ωt e de cos ωt são iguais para ambos os lados. Então,

R Ip = Vp cos φ #D.1#.

ω L Ip = Vp sen φ #D.2#. Dividindo ambas, tan φ = ω L / R #D.3#.

Elevando #D.1# ao quadrado e reagrupando, Vp2 = R2 Ip2 / cos2φ #E.1#.

Agora, é aplicada a igualdade trigonométrica 1 + tan2φ = 1 / cos2φ #E.2#. Substituindo em #E.1#,

Vp2 = R2 Ip2 (1 + tan2φ) = R2 Ip2 ( 1 + ω2 L2 / R2 ) = Ip2 (R2 + ω2 L2). Ou

Vp = Ip √ (R2 + ω2 L2) #E.3# Substituindo em #B.2#,.

vi = Ip √ (R2 + ω2 L2) sen(ωt + φ) #F.1#, onde tan φ = ω L / R #F.2#.

Resposta de freqüência do filtro passa-baixas
Fig 02
A tensão de saída é a tensão no resistor

vo = vR= R i = R Ip sen ωt #G.1#.

Portanto, o valor de pico da tensão de saída é

Vop = R Ip #G.2#.

Para a entrada, conforme #F.1#,

Vip = Ip √ (R2 + ω2 L2) #G.3#.

E a relação entre ambas é

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (ω L/ R)2 ] #H.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (2 π f L/ R)2 ] #H.2#.

O gráfico da Figura 02 dá exemplo típico da variação de Vop / Vip com a freqüência f de acordo com a igualdade anterior (demais parâmetros, L e R, foram arbitrados). A característica notável é a diminuição da tensão de saída com o aumento da freqüência. Por isso, o circuito é também denominado filtro passa-baixas.


Filtro RC


No circuito da Figura 01 deste tópico, há um capacitor em série com um resistor. É alimentado por uma fonte de corrente alternada senoidal vi e a tensão de saída vo é a tensão no resistor.

vi = Vp sen(ωt + φ) #A.1#.

Conforme a lei das tensões de Kirchhoff, a soma das tensões em um laço é nula. Assim, a tensão da fonte deve ser igual à tensão no resistor mais a tensão no capacitor.

Das relações de eletricidade, para o capacitor: q = C v, onde q é a carga elétrica e C a capacitância.

Portanto, vi = q/C + R i. Ou Vp sen(ωt + φ) = q/C + R i #A.2#.

Derivando em relação ao tempo t e lembrando que a corrente é dada por i = dq/dt,

Filtro RC
Fig 01
ω Vp cos(ωt + φ) = R di/dt + (1/C) i #A.3#.

Para a corrente alternada,

i = Ip sen ωt #B.1#.

Portanto, di/dt = ω Ip cos ωt #B.2#. Substituindo esse valor em #A.3#,


ω Vp cos(ωt + φ) = R ω Ip cos ωt + (Ip/C) sen ωt #B.3#.

Usa-se agora a identidade trigonométrica

cos(ωt + φ) = cos ωt cos φ − sen ωt sen φ #C.1#. Substituindo,

ω Vp cos ωt cos φ − ω Vp sen ωt sen φ = R ω Ip cos ωt + (Ip/C) sen ωt.

(ω Vp cos φ − R ω Ip) cos ωt − [ω Vp sen φ + (Ip/C)] sen ωt = 0 #D.1#.

Para ωt = 0, cos ωt = 1 e sen ωt = 0. Assim,

ω Vp cos φ = R ω Ip #D.2#.

Para ωt = π/2, cos ωt = 0 e sen ωt = 1. Assim,

ω Vp sen φ = − (Ip/C) #D.3#.

Dividindo as igualdades,

sen φ / cos φ = − (Ip/C) / R ω Ip. Portanto, tan φ = − 1 / (R ω C) #D.4#.

Simplificando e elevando ao quadrado a igualdade #D.2#,

Vp2 cos2φ = R2 Ip2 #D.5#.

Usando a identidade trigonométrica cos2φ = 1 / (1 + tan2φ) #E.1# e substituindo em #D.5#,

Resposta de freqüência do filtro passa-altas
Fig 02
Vp2 / [ 1 + (1/R ω C)2 ] = R2 Ip2.

Ip2 = Vp2 / [ R2 + (1/ωC)2 ].

Ip = Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ] #E.2#. Ou

Vp = Ip √ [ R2 + (1/ωC)2 ] #E.3#.

Substituindo esse valor em #A.1#,

vi = { Ip √ [R2 + (1/ωC)2] } sen(ωt + φ) #F.1#.

A tensão da saída é vo = vR = R i = R Ip sen ωt #F.2#.

Dividindo os valores de pico de #F.1# e #F.2#,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (1/RωC)2 ] #G.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (1/R 2 π f C)2 ] #G.2#.

A Figura 02 dá um gráfico típico da variação de Vop / Vip com a freqüência e demais parâmetros (R e C) arbitrados. O circuito atenua as freqüências mais baixas e, por isso, é também denominado filtro passa-altas.

Reatâncias

Reatância capacitiva


No circuito da Figura 01, uma tensão supostamente senoidal é aplicada a um capacitor C. Segundo relações básicas da eletricidade, a carga elétrica q de um capacitor é igual ao produto da sua capacitância C pela tensão entre os terminais:

Capacitor em corrente alternada
Fig 01
q = C v #A.1#. Derivando em relação ao tempo,

dq/dt = C dv/dt. Mas dq/dt = i (corrente).

i = C dv/dt #A.2#.

Se a tensão aplicada é v(t) = Vp sen ωt #B.1#,

i = C d(Vp sen ωt)/dt = ω C Vp cos ωt.

Considerando a igualdade trigonométrica, cos x = sen(x + π/2),

i = ω C Vp sen(ωt + π/2) #C.1#.

Comparando a igualdade acima com #B.1#, conclui-se que, no capacitor, a corrente é adiantada de π/2 (90°) em relação à tensão.

Também da relação #C.1#, a corrente de pico é Ip = ω C Vp ou Vp = (1 / ωC) Ip.

O termo (1 / ωC) tem dimensão de resistência e é denominado reatância capacitiva XC do capacitor. Portanto,

XC = 1 / ωC #D.1#.

E a relação anterior para valores de pico é Vp = XC Ip #D.2#.



Reatância indutiva


No caso do indutor (Figura 01 deste tópico), a relação básica é tensão proporcional à variação da corrente com o tempo. O fator de proporcionalidade é a indutância L.

Indutor em corrente alternada
Fig 01
v = L di/dt #A.1#.

Considera-se a aplicação de uma corrente com ângulo de fase −π/2, isto é,

i(t) = Ip sen(ωt − π/2) #B.1#.

v = L d[ Ip sen(ωt − π/2) ]/dt = ω L Ip cos(ωt − π/2).

Considerando a igualdade trigonométrica, cos x = sen(x + π/2),

v = ω L Ip sen ωt #C.1#.

Da relação acima e de #B.1#, pode-se concluir que, no indutor, a corrente é atrasada de π/2 (90°) em relação à tensão.

A reatância indutiva XL é uma grandeza de dimensão de resistência e é definida por

XL = ω L #D.1#.

E os valores de pico são relacionados por Vp = XL Ip #D.2#.

Potência em corrente alternada

Potência em corrente alternada


Para uma carga qualquer sob tensão alternada conforme circuito simples da Figura 01, deve-se considerar, no caso mais genérico, uma diferença de fase não nula φ entre tensão e corrente.

Circuito simples de CA
Fig 01
i(t) = Ip sen(ωt) #A.1#.

v(t) = Vp sen(ωt + φ) #A.2#.

A potência instantânea é o produto de ambas:

P(t) = v i = Vp Ip sen(ωt) sen(ωt + φ) #B.1#.

Calcula-se agora a potência média P para um período (T) da senóide:

P = (1/T) ∫0,T P(t) dt = (1/T) ∫0,T v i dt = (1/T) (Vp Ip) ∫0,T sen(ωt) sen(ωt + φ) dt.

Usando a igualdade trigonométrica sen(ωt + φ) = sen(ωt) cos(φ) + sen(φ) cos(ωt),

P = (1/T) (Vp Ip) [ cos(φ) ∫0,T sen2(ωt) dt + sen(φ) ∫0,T sen(ωt) cos(ωt) dt ] #B.2#.

Da página anterior, tópico Valor eficaz, pode ser visto o resultado da integral

0,T sen2(ωt) dt = π / ω #C.1#.

Para a segunda integral, é usada a identidade trigonométrica

sen(ωt) cos(ωt) = (1/2) sen (ωt + ωt) + (1/2) sen(ωt − ωt) = (1/2) sen(2ωt).

Lembrando também que T = 2 π / ω.

0,T sen(ωt) cos(ωt) dt = (1/2) ∫0,T sen(2ωt) dt = (1/2) [ cos(2ωt) / 2ω ]0,T = 0 #C.2#.

Substituindo os resultados das integrais na igualdade #B.2#,

P = (ω / 2 π) (Vp Ip) [ cos(φ) (π/ω) + sen(φ) 0 ].

P = (1/2) Vp Ip cos φ #D.1#.

Da página anterior, tensão e corrente eficazes são dados por:

Tensão: Vef = Vp / √2.

Corrente: Ief = Ip / √2.

Isolando os valores de pico e substituindo na anterior,

P = Vef Ief cos φ #D.2#

O co-seno do ângulo de defasagem entre tensão e corrente, cos φ, é denominado fator de potência da carga. Portanto, a potência dissipada em corrente alternada pode inclusive ser nula se a diferença de fase é π/2 (cos φ = 0).

O resultado #D.2# mostra outra conveniência do uso de valores eficazes de tensão e corrente: não há necessidade da divisão por 2 de #D.1#. A relação fica similar à fórmula para corrente contínua, com o acréscimo do fator de potência.

Vale notar que, se a carga é um resistor R, a tensão é simplesmente v(t) = R i(t). Não há diferença de fase e cos φ = 1. Assim, a potência é o produto da tensão eficaz pela corrente eficaz.

Equação geral da corrente senoidal

Equação geral da corrente senoidal


A característica básica de uma corrente alternada é a sua variação, normalmente periódica, com o tempo.

No circuito simples da Figura 01, uma fonte de corrente alternada CA alimenta uma carga genérica (são também usuais as iniciais inglesas AC).

Assim, a tensão e a corrente na carga são funções do tempo, v(t) e i(t) respectivamente (é também usual a notação com dispensa da indicação do tempo, ou seja, v e i simplesmente).

Circuito simples de CA
Fig 01
Em circuitos de corrente contínua, é comum simbolizar a carga com um resistor. No caso de CA, dispositivos que armazenam energia como capacitores e indutores têm comportamentos distintos.

No circuito da figura, o símbolo indica uma carga genérica, podendo ser qualquer combinação de resistores, capacitores e indutores.

A corrente alternada mais simples (e usada na prática) é denominada senoidal porque é expressa matematicamente pela função seno.

Função seno
Fig 02
Em (a) da Figura 02, o gráfico padrão da função sen x para o intervalo 0 < style="color:blue;">sen(x + φ) #A.1#.

Onde φ é o ângulo de fase. Representa um deslocamento angular em relação à origem. Assim, em (a) da figura ocorre φ = 0 e, em (b) da mesma figura, φ > 0.

Segundo relações trigonométricas, cos x = sen (π/2 − x) #B.1#.

Conclui-se, portanto, que a corrente alternada também pode ser representada pela função co-seno. Nesta série de páginas, ambas as funções podem ser usadas.

Corrente senoidal
Fig 03
Para a adequada representação de tensão e corrente senoidais, segundo a formulação básica do movimento periódico, o ângulo x das igualdades anteriores deve ser igual à velocidade angular (ω) multiplicada pelo tempo (t).

E a função seno (que só varia entre −1 e +1) deve ser multiplicada por um valor indicativo da amplitude ou valor de pico.

Quanto ao ângulo de fase, é comum considerar zero para uma grandeza (tensão, por exemplo) e φ para a outra. Assim, o ângulo φ é a diferença de fase entre corrente e tensão.

Portanto, tensão e corrente senoidais podem ser escritas conforme equações abaixo.

Tensão v = Vp sen(ωt) #C.1# Corrente i = Ip sen(ωt + φ) #C.2#

v, i: valores instantâneos. Equivalem às notações v(t) e i(t) respectivamente.
Vp, Ip: valores de pico.
ω: velocidade angular (unidade SI: rad/s).
t: tempo (s).
φ: ângulo de fase (rad).

A freqüência (f) é relacionada com a velocidade angular (ω) pela igualdade

ω = 2 π f #D.1#. Unidade SI da freqüência: hertz Hz, equivalente a 1/s.

O período T é o tempo para um ciclo completo, ou seja, ωT = 2 π. Portanto,

T = 2 π / ω = 1 / f #D.1#.



Valor eficaz


À primeira vista, pode-se imaginar que a corrente ou tensão em um circuito de corrente alternada são adequadamente especificadas pelos seus valores de pico e demais parâmetros conforme fórmulas do tópico anterior. Entretanto, em muitos casos, é mais interessante uma referência para comparação com corrente contínua.

Em (a) e em (b) da Figura 01, o mesmo resistor R é alimentado com corrente alternada e com corrente contínua, respectivamente.

Para o circuito CC, a potência dissipada é P = R ICC2 #A.1#

Valor eficaz
Fig 01
Na corrente alternada, a fórmula acima indica a potência instantânea, que é evidentemente variável. Assim, para efeito de comparação, deve ser tomado um valor médio ao longo de um ciclo (tempo igual a um período T), pois esse se repete.

Matematicamente, o valor médio de uma função f(x) é dada pela relação clássica

f(x)med = [ 1 / (b − a) ] ∫a,b f(x) dx #B.1#.

Considerando ângulo de fase nulo (isso não altera o resultado), a = 0 e b = T, a potência média dissipada pelo resistor R em (a) da figura é


Pmed = (1/T) ∫0,T R Ip2 sen2ωt dt. Considerando a fórmula ∫ sen2x dx = −(1/4) sen 2x + (1/2) x + C e a relação T = 2 π / ω,

Pmed = (ω/2 π) R Ip2 (1/ω) [ −(1/4) sen 4 π + (1/2) 2 π ] = (1/2) R Ip2 #C.1#.

O valor eficaz Ief de uma corrente alternada é o valor da corrente contínua que produz a mesma potência em R. Portanto, ele pode ser obtido em função de Ip com a substituição, em #A.1#, de ICC por Ief e posterior igualdade com #C.1#.

Da relação de potência P = V2 / R e com procedimento similar, é possível obter o valor eficaz para a tensão. O resultado final para ambas é

Tensão eficaz Vef = Vp / √2 #D.1# Corrente eficaz Ief = Ip / √2 #D.2#

Esses valores são também denominados rms (root mean square). É praxe a especificação de tensões e correntes alternadas em termos de valores eficazes. A maioria dos voltímetros e amperímetros para corrente alternada indica valores em rms. Entretanto, instrumentos comuns só indicam rms correto para tensões ou correntes senoidais. Para outras formas devem ser usados tipos mais sofisticados, conhecidos como true-rms.

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