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quinta-feira, 23 de julho de 2009

Integrador e diferenciador

Integrador e diferenciador


O circuito da Figura 01 abaixo é o circuito do tópico Filtro RC. A tensão de saída é

vo = R i = R Ip sen ωt = R { Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ] } sen ωt #A.1#, de acordo com igualdades deduzidas no mesmo tópico. Simplificando,

Circuito RC como integrador e diferenciador
Fig 01
vo = Vp / √ [ 1 + (1/RωC)2 ] sen ωt #A.2#.

Supõe-se agora que a freqüência (e, portanto, a velocidade angular ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é pequeno,

RωC << style="color: orangered;">#B.1#.


Nessa condição, a igualdade anterior (#A.2#) pode ser escrita na forma aproximada

vo ≈ Vp RωC sen ωt #B.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #C.1#.

Considerando a hipótese #B.1#, φ ≈ − π/2 #C.2#.

A tensão de entrada é vi = Vp sen(ωt + φ) #C.3#.

vi = Vp sen(ωt − π/2) = Vp cos ωt #C.4#.

Se tomada a derivada de vi em relação ao tempo, o resultado é

dvi/dt = − Vp ω sen ωt #C.5#.

Da igualdade anterior #B.2#, conclui-se facilmente que

vo ≈ − RC dvi/dt #D.1#.

Ou seja, na aproximação considerada, o circuito atua como um diferenciador.


Analisa-se agora a tensão no capacitor vC.

Da relação básica do capacitor, a carga elétrica é q = C vC. Mas a corrente é dada por i = dq/dt. Portanto,

i = C dvC/dt #E.1#.

A tensão é obtida pela integração da expressão acima:

vC = ∫ (1/C) i dt = (1/C) ∫ i dt = (1/C) ∫ Ip sen ωt dt = − ( Ip / ωC ) cos ωt #E.2#.

Segundo #E.2# do tópico Filtro RC,

Ip = Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ].

Substituindo esse valor de Ip em #E.2# deste tópico,

vC = − { Vp / √ [R2 + (1/ωC)2] / ωC } cos ωt = − { Vp / R √ [1 + (1/RωC)2] / ωC } cos ωt #E.3#.

Neste caso, supõe-se que a freqüência (e, portanto, ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é muito grande,

RωC >> 1 #F.1#.

E a igualdade anterior é escrita de forma aproximada:

vC ≈ − [ Vp / (RωC) ] cos ωt #F.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #G.1#.

Portanto, na hipótese #F.1#, φ ≈ 0 #G.2#.

Pela definição de tensão alternada, a tensão de entrada é

vi = Vp sen(ωt + φ) ≈ Vp sen ωt porque φ ≈ 0 #G.3#.

Da igualdade anterior #F.2#, pode-se concluir que, neste caso, vale

vC ≈ (1/RC) ∫ vi dt #H.1#.

Portanto, o circuito funciona como um integrador nas condições mencionadas, para tensão de saída tomada sobre o capacitor.

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