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quinta-feira, 23 de julho de 2009

Equação geral da corrente senoidal

Equação geral da corrente senoidal


A característica básica de uma corrente alternada é a sua variação, normalmente periódica, com o tempo.

No circuito simples da Figura 01, uma fonte de corrente alternada CA alimenta uma carga genérica (são também usuais as iniciais inglesas AC).

Assim, a tensão e a corrente na carga são funções do tempo, v(t) e i(t) respectivamente (é também usual a notação com dispensa da indicação do tempo, ou seja, v e i simplesmente).

Circuito simples de CA
Fig 01
Em circuitos de corrente contínua, é comum simbolizar a carga com um resistor. No caso de CA, dispositivos que armazenam energia como capacitores e indutores têm comportamentos distintos.

No circuito da figura, o símbolo indica uma carga genérica, podendo ser qualquer combinação de resistores, capacitores e indutores.

A corrente alternada mais simples (e usada na prática) é denominada senoidal porque é expressa matematicamente pela função seno.

Função seno
Fig 02
Em (a) da Figura 02, o gráfico padrão da função sen x para o intervalo 0 < style="color:blue;">sen(x + φ) #A.1#.

Onde φ é o ângulo de fase. Representa um deslocamento angular em relação à origem. Assim, em (a) da figura ocorre φ = 0 e, em (b) da mesma figura, φ > 0.

Segundo relações trigonométricas, cos x = sen (π/2 − x) #B.1#.

Conclui-se, portanto, que a corrente alternada também pode ser representada pela função co-seno. Nesta série de páginas, ambas as funções podem ser usadas.

Corrente senoidal
Fig 03
Para a adequada representação de tensão e corrente senoidais, segundo a formulação básica do movimento periódico, o ângulo x das igualdades anteriores deve ser igual à velocidade angular (ω) multiplicada pelo tempo (t).

E a função seno (que só varia entre −1 e +1) deve ser multiplicada por um valor indicativo da amplitude ou valor de pico.

Quanto ao ângulo de fase, é comum considerar zero para uma grandeza (tensão, por exemplo) e φ para a outra. Assim, o ângulo φ é a diferença de fase entre corrente e tensão.

Portanto, tensão e corrente senoidais podem ser escritas conforme equações abaixo.

Tensão v = Vp sen(ωt) #C.1# Corrente i = Ip sen(ωt + φ) #C.2#

v, i: valores instantâneos. Equivalem às notações v(t) e i(t) respectivamente.
Vp, Ip: valores de pico.
ω: velocidade angular (unidade SI: rad/s).
t: tempo (s).
φ: ângulo de fase (rad).

A freqüência (f) é relacionada com a velocidade angular (ω) pela igualdade

ω = 2 π f #D.1#. Unidade SI da freqüência: hertz Hz, equivalente a 1/s.

O período T é o tempo para um ciclo completo, ou seja, ωT = 2 π. Portanto,

T = 2 π / ω = 1 / f #D.1#.



Valor eficaz


À primeira vista, pode-se imaginar que a corrente ou tensão em um circuito de corrente alternada são adequadamente especificadas pelos seus valores de pico e demais parâmetros conforme fórmulas do tópico anterior. Entretanto, em muitos casos, é mais interessante uma referência para comparação com corrente contínua.

Em (a) e em (b) da Figura 01, o mesmo resistor R é alimentado com corrente alternada e com corrente contínua, respectivamente.

Para o circuito CC, a potência dissipada é P = R ICC2 #A.1#

Valor eficaz
Fig 01
Na corrente alternada, a fórmula acima indica a potência instantânea, que é evidentemente variável. Assim, para efeito de comparação, deve ser tomado um valor médio ao longo de um ciclo (tempo igual a um período T), pois esse se repete.

Matematicamente, o valor médio de uma função f(x) é dada pela relação clássica

f(x)med = [ 1 / (b − a) ] ∫a,b f(x) dx #B.1#.

Considerando ângulo de fase nulo (isso não altera o resultado), a = 0 e b = T, a potência média dissipada pelo resistor R em (a) da figura é


Pmed = (1/T) ∫0,T R Ip2 sen2ωt dt. Considerando a fórmula ∫ sen2x dx = −(1/4) sen 2x + (1/2) x + C e a relação T = 2 π / ω,

Pmed = (ω/2 π) R Ip2 (1/ω) [ −(1/4) sen 4 π + (1/2) 2 π ] = (1/2) R Ip2 #C.1#.

O valor eficaz Ief de uma corrente alternada é o valor da corrente contínua que produz a mesma potência em R. Portanto, ele pode ser obtido em função de Ip com a substituição, em #A.1#, de ICC por Ief e posterior igualdade com #C.1#.

Da relação de potência P = V2 / R e com procedimento similar, é possível obter o valor eficaz para a tensão. O resultado final para ambas é

Tensão eficaz Vef = Vp / √2 #D.1# Corrente eficaz Ief = Ip / √2 #D.2#

Esses valores são também denominados rms (root mean square). É praxe a especificação de tensões e correntes alternadas em termos de valores eficazes. A maioria dos voltímetros e amperímetros para corrente alternada indica valores em rms. Entretanto, instrumentos comuns só indicam rms correto para tensões ou correntes senoidais. Para outras formas devem ser usados tipos mais sofisticados, conhecidos como true-rms.

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