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quinta-feira, 23 de julho de 2009

Filtro RL e RC

Filtro RL


No circuito da Figura 01, a série RL é alimentada com uma tensão supostamente senoidal vi. Deseja-se saber a tensão sobre o resistor vo em função da tensão de entrada e dos valores R e L.

De acordo com a lei das tensões de Kirchhoff,

vi = vR + vL = R i + L di/dt #A.1#.

Se a tensão de entrada vi é senoidal, a corrente i também deve ser, Assim, ela tem a formulação:

i = Ip sen ωt. E a derivada em relação ao tempo é di/dt = ω Ip cos ωt.Substituindo em #A.1#,

Filtro RL
Fig 01
vi = R Ip sen ωt + ω L Ip cos ωt #B.1#.

Mas vi é a tensão alternada de uma fonte senoidal. Portanto,

vi = Vp sen(ωt + φ) #B.2#, onde φ é o ângulo de fase entre tensão e corrente.

Usando relações trigonométricas,

vi = Vp cos φ sen ωt + Vp sen φ cos ωt #C.1#.

Substituindo em #B.1#,

R Ip sen ωt + ω L Ip cos ωt = Vp cos φ sen ωt + Vp sen φ cos ωt #C.2#.

Pode-se supor que os coeficientes de sen ωt e de cos ωt são iguais para ambos os lados. Então,

R Ip = Vp cos φ #D.1#.

ω L Ip = Vp sen φ #D.2#. Dividindo ambas, tan φ = ω L / R #D.3#.

Elevando #D.1# ao quadrado e reagrupando, Vp2 = R2 Ip2 / cos2φ #E.1#.

Agora, é aplicada a igualdade trigonométrica 1 + tan2φ = 1 / cos2φ #E.2#. Substituindo em #E.1#,

Vp2 = R2 Ip2 (1 + tan2φ) = R2 Ip2 ( 1 + ω2 L2 / R2 ) = Ip2 (R2 + ω2 L2). Ou

Vp = Ip √ (R2 + ω2 L2) #E.3# Substituindo em #B.2#,.

vi = Ip √ (R2 + ω2 L2) sen(ωt + φ) #F.1#, onde tan φ = ω L / R #F.2#.

Resposta de freqüência do filtro passa-baixas
Fig 02
A tensão de saída é a tensão no resistor

vo = vR= R i = R Ip sen ωt #G.1#.

Portanto, o valor de pico da tensão de saída é

Vop = R Ip #G.2#.

Para a entrada, conforme #F.1#,

Vip = Ip √ (R2 + ω2 L2) #G.3#.

E a relação entre ambas é

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (ω L/ R)2 ] #H.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (2 π f L/ R)2 ] #H.2#.

O gráfico da Figura 02 dá exemplo típico da variação de Vop / Vip com a freqüência f de acordo com a igualdade anterior (demais parâmetros, L e R, foram arbitrados). A característica notável é a diminuição da tensão de saída com o aumento da freqüência. Por isso, o circuito é também denominado filtro passa-baixas.


Filtro RC


No circuito da Figura 01 deste tópico, há um capacitor em série com um resistor. É alimentado por uma fonte de corrente alternada senoidal vi e a tensão de saída vo é a tensão no resistor.

vi = Vp sen(ωt + φ) #A.1#.

Conforme a lei das tensões de Kirchhoff, a soma das tensões em um laço é nula. Assim, a tensão da fonte deve ser igual à tensão no resistor mais a tensão no capacitor.

Das relações de eletricidade, para o capacitor: q = C v, onde q é a carga elétrica e C a capacitância.

Portanto, vi = q/C + R i. Ou Vp sen(ωt + φ) = q/C + R i #A.2#.

Derivando em relação ao tempo t e lembrando que a corrente é dada por i = dq/dt,

Filtro RC
Fig 01
ω Vp cos(ωt + φ) = R di/dt + (1/C) i #A.3#.

Para a corrente alternada,

i = Ip sen ωt #B.1#.

Portanto, di/dt = ω Ip cos ωt #B.2#. Substituindo esse valor em #A.3#,


ω Vp cos(ωt + φ) = R ω Ip cos ωt + (Ip/C) sen ωt #B.3#.

Usa-se agora a identidade trigonométrica

cos(ωt + φ) = cos ωt cos φ − sen ωt sen φ #C.1#. Substituindo,

ω Vp cos ωt cos φ − ω Vp sen ωt sen φ = R ω Ip cos ωt + (Ip/C) sen ωt.

(ω Vp cos φ − R ω Ip) cos ωt − [ω Vp sen φ + (Ip/C)] sen ωt = 0 #D.1#.

Para ωt = 0, cos ωt = 1 e sen ωt = 0. Assim,

ω Vp cos φ = R ω Ip #D.2#.

Para ωt = π/2, cos ωt = 0 e sen ωt = 1. Assim,

ω Vp sen φ = − (Ip/C) #D.3#.

Dividindo as igualdades,

sen φ / cos φ = − (Ip/C) / R ω Ip. Portanto, tan φ = − 1 / (R ω C) #D.4#.

Simplificando e elevando ao quadrado a igualdade #D.2#,

Vp2 cos2φ = R2 Ip2 #D.5#.

Usando a identidade trigonométrica cos2φ = 1 / (1 + tan2φ) #E.1# e substituindo em #D.5#,

Resposta de freqüência do filtro passa-altas
Fig 02
Vp2 / [ 1 + (1/R ω C)2 ] = R2 Ip2.

Ip2 = Vp2 / [ R2 + (1/ωC)2 ].

Ip = Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ] #E.2#. Ou

Vp = Ip √ [ R2 + (1/ωC)2 ] #E.3#.

Substituindo esse valor em #A.1#,

vi = { Ip √ [R2 + (1/ωC)2] } sen(ωt + φ) #F.1#.

A tensão da saída é vo = vR = R i = R Ip sen ωt #F.2#.

Dividindo os valores de pico de #F.1# e #F.2#,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (1/RωC)2 ] #G.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (1/R 2 π f C)2 ] #G.2#.

A Figura 02 dá um gráfico típico da variação de Vop / Vip com a freqüência e demais parâmetros (R e C) arbitrados. O circuito atenua as freqüências mais baixas e, por isso, é também denominado filtro passa-altas.

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