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quinta-feira, 23 de julho de 2009

Potência em corrente alternada

Potência em corrente alternada


Para uma carga qualquer sob tensão alternada conforme circuito simples da Figura 01, deve-se considerar, no caso mais genérico, uma diferença de fase não nula φ entre tensão e corrente.

Circuito simples de CA
Fig 01
i(t) = Ip sen(ωt) #A.1#.

v(t) = Vp sen(ωt + φ) #A.2#.

A potência instantânea é o produto de ambas:

P(t) = v i = Vp Ip sen(ωt) sen(ωt + φ) #B.1#.

Calcula-se agora a potência média P para um período (T) da senóide:

P = (1/T) ∫0,T P(t) dt = (1/T) ∫0,T v i dt = (1/T) (Vp Ip) ∫0,T sen(ωt) sen(ωt + φ) dt.

Usando a igualdade trigonométrica sen(ωt + φ) = sen(ωt) cos(φ) + sen(φ) cos(ωt),

P = (1/T) (Vp Ip) [ cos(φ) ∫0,T sen2(ωt) dt + sen(φ) ∫0,T sen(ωt) cos(ωt) dt ] #B.2#.

Da página anterior, tópico Valor eficaz, pode ser visto o resultado da integral

0,T sen2(ωt) dt = π / ω #C.1#.

Para a segunda integral, é usada a identidade trigonométrica

sen(ωt) cos(ωt) = (1/2) sen (ωt + ωt) + (1/2) sen(ωt − ωt) = (1/2) sen(2ωt).

Lembrando também que T = 2 π / ω.

0,T sen(ωt) cos(ωt) dt = (1/2) ∫0,T sen(2ωt) dt = (1/2) [ cos(2ωt) / 2ω ]0,T = 0 #C.2#.

Substituindo os resultados das integrais na igualdade #B.2#,

P = (ω / 2 π) (Vp Ip) [ cos(φ) (π/ω) + sen(φ) 0 ].

P = (1/2) Vp Ip cos φ #D.1#.

Da página anterior, tensão e corrente eficazes são dados por:

Tensão: Vef = Vp / √2.

Corrente: Ief = Ip / √2.

Isolando os valores de pico e substituindo na anterior,

P = Vef Ief cos φ #D.2#

O co-seno do ângulo de defasagem entre tensão e corrente, cos φ, é denominado fator de potência da carga. Portanto, a potência dissipada em corrente alternada pode inclusive ser nula se a diferença de fase é π/2 (cos φ = 0).

O resultado #D.2# mostra outra conveniência do uso de valores eficazes de tensão e corrente: não há necessidade da divisão por 2 de #D.1#. A relação fica similar à fórmula para corrente contínua, com o acréscimo do fator de potência.

Vale notar que, se a carga é um resistor R, a tensão é simplesmente v(t) = R i(t). Não há diferença de fase e cos φ = 1. Assim, a potência é o produto da tensão eficaz pela corrente eficaz.

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