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terça-feira, 28 de julho de 2009

Máxima transferência de potência



No tópico anterior, foi dado um exemplo de cálculo da potência ativa transmitida da fonte para a carga. Neste tópico, considera-se uma situação genérica conforme Figura 01:

Uma fonte ideal Vs em série com uma impedância Zs, que alimenta uma carga de impedância Z.

Carga genérica em CA
Fig 01
Em módulo, a corrente é dada por

Ief = Vs ef / |Zs + Z|.

A potência ativa na carga é

P = Ief2 R = R Vs ef2 / |Zs + Z|2 #A.1#.


As impedâncias complexas são,

Zs = Rs + j Xs #A.2#.

Z = R + j X #A.3#.

A soma delas é dada por

Zs + Z = (Rs + R) + j (Xs + X).

E o módulo da soma é

|Zs + Z|2 = (Rs + R)2 + (Xs + X)2.

Substituindo na igualdade #A.1#,

P = R Vs ef2 / [ (Rs + R)2 + (Xs + X )2] #B.1#.

Para determinar o máximo valor dessa potência em relação aos parâmetros de resistências e reatâncias, deve-se usar derivadas parciais para cada e igualar a zero. Mas, no caso das reatâncias, desde que elas podem ser negativas, nota-se facilmente que o valor máximo ocorre com

Impedâncias de fonte e carga
Fig 02
(Xs + X) = 0 ou

Xs = − X #B.2#.

No caso das resistências, precisa-se desenvolver as derivadas porque elas não podem ser negativas.

A igualdade #B.1# pode ser reagrupada para

P = Vs ef2 / [ (1/R) (Rs + R)2 + (1/R) (Xs + X )2].

Desde que o valor máximo é procurado, pode-se considerar a condição #B.2# e a relação fica reduzida a

P' = Vs ef2 / [Rs2/R + 2 Rs + R], que deve ser máximo.

Pode-se derivar toda a expressão acima. Entretanto, é mais fácil usar apenas o denominador, que deve ser mínimo para valor máximo de P, isto é,

[Rs2/R + 2 Rs + R] #C.1# deve ser mínimo.

Neste caso, a derivada deve ser nula.

∂ [Rs2/R + 2 Rs + R] / ∂R = −Rs2/R2 + 1 = 0.

A solução dessa equação é

R = ± Rs.

Para saber qual solução indica valor mínimo, deve-se usar a segunda derivada

2 [Rs2/R + 2 Rs + R] / ∂R2 = 2 Rs2/R3.

Ela deve ser positiva para valor mínimo, o que confirma a realidade física, porque resistências não são negativas.

Se #C.1# é mínimo, a potência é máxima com

R = Rs #C.2#.

Aplicando as condições #B.2# e #C.2# às igualdades #A.2# e #A.3#, conclui-se facilmente que, para máxima transferência de potência, a impedância da carga deve ser igual ao conjugado complexo da impedância da fonte:

Z = Zs* #D.1#.

Aplicando essa condição a #A.1#, o valor da potência máxima transferida é

Pmax = Vs ef2 / (4 R) #D.2#. Com R = Rs.

Na prática pode-se dizer que, na condição de máxima transferência de potência, o circuito da Figura 01 deve ser equivalente ao da Figura 02 com Rs = R e Xs = − X. Uma reatância deve ser capacitiva e a outra, indutiva devido à oposição de sinais. E isso forma um circuito ressonante em série, tema que é tratado em páginas posteriores.

Potência complexa



Algumas informações sobre potência em corrente alternada foram dadas na página Correntes alternadas I-20. Aqui estuda-se o caso mais genérico, considerando as representações complexas de tensão e corrente e o conceito de impedância complexa.

Conforme já visto, a impedância complexa Z é, para os circuitos CA, a grandeza equivalente à resistência (R) dos circuitos CC.

A impedância é um número complexo na forma

Z = R + j X #A.1#. Onde a parte real R significa o resultado das resistências elétricas do elemento e a parte imaginária X é a reatância resultante de indutores e capacitores que existirem.

Nos circuitos CC, a potência pode ser calculada pelo produto da resistência pelo quadrado da corrente. Para AC, é então lógico definir uma potência igual ao produto da impedância pelo quadrado da corrente. Neste caso, devem ser usados valores eficazes porque, conforme informado na citada página, evita a divisão por 2, que seria necessária para valores de pico.

Carga em corrente alternada
Fig 01
Essa grandeza é denominada potência complexa S e pode ser calculada por

S = Z Ief2 = (R + j X) Ief2 #B.1#.

Segundo a teoria, o produto de um número complexo pelo seu conjugado é o quadrado do módulo. Para o caso da corrente,

Ief2 = Ief Ief*. Da definição de impedância, Vef = Z Ief. Assim, Z Ief2 = Z Ief Ief* = Vef Ief*. Substituindo em #B.1#, chega-se à fórmula mais comum para a potência complexa:

S = Vef Ief* #C.1#.

Voltando à igualdade #B.1#, a potência complexa pode ser escrita como:

S = P + j Q #D.1#. Onde

P = R Ief2 #D.2#.

Q = X Ief2 #D.3#.

A parcela P corresponde à energia por unidade de tempo efetivamente dissipada na carga, devido a resistências elétricas ou quedas de tensão. Por isso, é denominada potência ativa.

Potência complexa
Fig 02
Com uso das fórmulas trigonométricas para tensão e corrente, é possível demonstrar que a parcela Q tem valor médio nulo, correspondendo a trocas de energia entre fonte e carga, em razão de reatâncias indutivas e capacitivas. Por isso, é denominada potência reativa.

Segundo teoria dos números complexos, é possível relacionar #D.1# conforme Figura 02.

O módulo S da potência complexa é denominado potência aparente, valendo a relação

S = √(P2 + Q2) = Vef Ief #E.1#.

Na prática, de acordo com a fórmula acima, a potência aparente pode ser facilmente obtida a partir dos valores medidos de tensão e corrente.

Conforme #B.1#, a potência complexa equivale à impedância multiplicada por um número real (Ief2). Assim, o ângulo φ corresponde à diferença de fase entre corrente e tensão. O co-seno do mesmo, cos φ, é denominado fator de potência da carga:

cos φ = P / S #E.2#.

Em circuitos reais, é desejável que o fator de potência seja o mais próximo possível da unidade, a fim de evitar superdimensionamento de redes e equipamentos e perdas de energia. É um dos parâmetros mais importantes em instalações de corrente alternada.

A praxe estabeleceu nomes diferenciados para unidades conforme tabela a seguir.

Potência Aparente Ativa Reativa
Unidade volt-ampère watt volt-ampère reativo
Símbolo VA W VAR

Valores de instalações práticas costumam estar na faixa de múltiplos como KVA, kW, kVAR, etc. Observar que volt-ampère (VA), volt-ampère reativo (VAR) e watt (W) são fisicamente a mesma unidade. A diferença é apenas de nome.

Fasores - Exemplos de cálculo

| Topo pág | Fim pág |

Exemplo 01:

Determinar a corrente do circuito da Figura 01, considerando os parâmetros informados.

Solução:

Circuito CA em série
Figura 01
A tensão da fonte AC é

V = 5 V .

Freqüência f = 120 Hz. Portanto, velocidade (ou freqüência) angular é dada por:

ω = 2 π f ≈ 753,6 rad/s.


Cada elemento tem sua impedância, conforme Figura 02.

Impedâncias em série
Figura 02
Z1 = 5 + j 0.

Z2 = 0 + j ω L ≈ 0 + j 3,77.

Z3 = 0 − j / (ωC) ≈ 0 − j 132,7.

Z4 = 10 + j 0.

Z = ∑ Zi ≈ 15 − j 128,9.


Convertendo para coordenadas polares, Z ≈ 129,8 −83º.

Corrente I = V = 5 ≈ 0,0385 83º .
Z 129,8 −83º


Exemplo 02 (fonte: prova PF 1997, com adaptações): são dados os valores para o circuito da Figura 03.

R    = 40 ohms.
L = 10 henrys.
C = 0,02 farad.
v(t) = 800 cos 5t volts.

A corrente estacionária nesse circuito é:

(a) i = cos 5t + 2 sen 5t.
(b) i = 10 (cos 5t + sen 5t).
(c) i = [exp(−2t)] (sen 5t).
(d) i = [exp(−3t)] (10 sen 5t − 4 cos 5t).

Solução:

A partir do valor dado, v(t) = 800 cos 5t, são deduzidos:

ω = 5 rad/s.
V = 800 V 0°.

Circuito RLC série
Figura 03
As impedâncias são calculadas:

ZR = 40 + j 0.
ZL = 0 + j ω L = 0 + j 5 10 = 0 + j 50.
ZC = 0 − j / (ωC) = 0 − j / (5 0,02) = 0 − j 10.

A impedância total é

Z = Σ Zi = 40 + j 40. Determinando as coordenadas polares,

r = √(402 + 402)  = 40 √2
φ = tan−1 (40/40) = 45°

Portanto, Z = 40 √2 45°

E a corrente é dada por I = V = 800 = 10 √2 −45°
Z 40 √2 45°

Na forma trigonométrica, considerando o valor de ω anterior, a corrente é

i(t) = 10 √2 cos(5t − 45).

Para uma solução em conformidade com alternativas apresentadas, deve-se usar a relação matemática:

M cos(ωt + φ) = A cos(ωt) − B sen(ωt). Onde:
A = M cos φ
B = M sen φ

Calculando para o valor de i(t) anterior,

A = 10 √2 cos(− 45°) = 10 √2 √2 / 2     =  10
B = 10 √2 sen(− 45°) = 10 √2 (− √2 / 2) = −10

Substituindo esses valores,

i(t) = 10 √2 cos(5t − 45) = 10 cos 5t + 10 sen 5t = 10 (cos 5t + sen 5t).

Resposta: Alternativa (b).

Notar que, numa prova real, a questão pode ser respondida sem todos esses cálculos. Nas alternativas (c) e (d), em razão das exponenciais, as amplitudes diminuem com o tempo e elas não podem ser correntes estacionárias. Verificando rapidamente que a diferença entre as reatâncias indutiva e capacitiva é 40 e que a resistência também é 40, conclui-se que a impedância complexa deve ter um ângulo de 45º. Assim, a corrente será defasada desse valor e, segundo a relação matemática anterior, isso só pode ocorrer se os coeficientes do seno e do co-seno forem iguais, o que é atendido pela alternativa (b).


Exemplo 03 (fonte: Inmetro 2007, com adaptações):

O circuito elétrico abaixo é alimentado por uma fonte de tensão senoidal cuja freqüência angular é igual a ω. Considerando que esse circuito funcione em regime permanente, julgue os itens subseqüentes.

110) Caso a freqüência angular da tensão seja igual a 20 rad/s, a impedância equivalente nos terminais da fonte, nessa freqüência angular, será composta de uma resistência igual a 10 Ω e de uma reatância indutiva também de valor igual a 10 Ω.

Circuito RL
Figura 01
As impedâncias são:

ZR = 10 + j 0
ZL = 0 + j ω 0,5

Se ω = 10 rad/s, os módulos das impedâncias são:

ZR = 10 Ω e ZL = 10 Ω , que são, respectivamente, a resistência e a reatância indutiva. Resposta: Certo.


111) Caso a amplitude da tensão da fonte seja igual a 100 V e a freqüência angular seja finita e diferente de zero, circulará pelo circuito corrente cuja fase estará sempre adiantada em relação à fase da tensão.

A impedância total é Z = ZR + ZL = 10 + j ω 0,5. Em termos de fasor,

Z = Z  φ, onde:
Z = √[102 + (ω 0,5)2]
φ = tan−1 (ω 0,5 / 10)

Considerando, por exemplo, a tensão da fonte V α, a corrente será:

I = V = V α = (V/Z) (α−φ) , de acordo com as regras para divisão de números complexos.
Z Z φ

Considerando que φ é positivo porque ω é sempre positivo, o ângulo de fase da corrente será menor que o da tensão e, portanto, ela estará atrasada. Resposta: Errado.

Notar que essa condição não depende de um valor particular da tensão, como pode sugerir o enunciado do problema.


112) A relação entre a magnitude da tensão da fonte e a magnitude da corrente no circuito varia linearmente com a freqüência da fonte.

Nas igualdades anteriores, pode-se notar que o módulo da impedância não tem relação linear com a freqüência angular ω. Resposta: Errado.

Representação complexa para tensão e corrente senoidais

Representação complexa para tensão e corrente senoidais



Em páginas anteriores pode ser visto que a análise de circuitos de corrente alternada com o uso de funções trigonométricas implica equações diferenciais trabalhosas e certa dificuldade de visualização, mesmo nos casos mais simples.

Seja uma tensão senoidal genérica dada pela função co-seno e ângulo de fase (φ) nulo:

v = Vp cos ωt #A.1#.

Seja agora uma tensão fictícia representada pela função seno com os mesmos parâmetros e multiplicada por um fator a qualquer:

a Vp sen ωt #A.2#. Desde que co-seno e seno diferem apenas no deslocamento angular, pode-se supor que a resposta do circuito será na mesma proporção da anterior (#A.1#).

Considerando o princípio da superposição, pode-se também imaginar que essas duas parcelas podem ser somadas e, no resultado, a parcela correspondente a #A.1# pode ser recuperada:

Vp cos ωt + a Vp sen ωt #A.3#. Se ao fator a é atribuída a unidade imaginária (j = √−1), a expressão torna-se um número complexo, que pode ser dado em forma exponencial segundo a relação de Euler:

V = Vp cos ωt + j Vp sen ωt = Vp ejωt #A.4#.

Portanto, a tensão original v (de #A.1#) é a parte real (Re) do número complexo acima, ou seja,

v = Re[ V ] = Re[ Vp ejωt ] #A.5#.

Para a corrente senoidal, o procedimento é similar. Neste caso, é considerado um ângulo de fase φ. A tabela abaixo dá o resumo para ambas.


Forma trigonométrica Forma complexa exponencial
Tensão v = Vp cos ωt V = Vp ejωt #B.1#
Corrente i = Ip cos (ωt + φ) I = Ip ej(ωt + φ) #C.1#

Notar que a suposição de fase nula para tensão e φ para corrente é apenas uma questão de simplicidade. Podem ser perfeitamente considerados valores genéricos para cada (φv e φi, por exemplo).

A vantagem da representação complexa é evidente: operações como multiplicação, divisão, derivação e integração são significativamente mais simples com números complexos na forma exponencial.

Mais informações sobre números complexos podem ser consultadas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.



Impedância complexa



Na forma complexa da corrente alternada senoidal, o parâmetro equivalente à resistência dos circuitos de corrente contínua é denominado impedância complexa Z e é definido como:

Z = V / I #A.1#.

Considerando as formulações do tópico anterior, V = Vp ejωt e I = Ip ej(ωt + φ), a divisão dos números complexos resulta em

Z = (Vp / Ip) e−jφ #A.2#.

Notar que a impedância tem a mesma dimensão da resistência elétrica e que não é dependente do tempo. Nos próximos itens, fórmulas de impedância para os elementos básicos de circuito.

Impedância de um resistor
Fig 01
Resistor

Para um resistor de valor R percorrido por uma corrente I, a tensão é simplesmente

V = R I. Portanto, a impedância é

Z = V / I = R I / I = R #B.1#.

De acordo com a teoria dos números complexos, eles podem ser escritos em coordenadas retangulares na forma:

a + j b, onde a é a parte real e b, a imaginária, que são representadas nos eixos horizontal e vertical respectivamente.

Para maior clareza, pode-se dizer então que a impedância complexa do resistor é

ZR = R + j 0 #B.2#.

Ou seja, é um número complexo com a parte imaginária nula. Graficamente, números complexos podem ser indicados por vetores de componentes iguais às suas partes reais e imaginárias. Ver Figura 01 para esse caso.

Impedância de um indutor
Fig 02
Indutor

Seja uma corrente senoidal na forma complexa de acordo com o tópico anterior:

I = Ip ej(ωt + φ). A soma no expoente pode ser separada:

I = Ip ej φ ej ωt. Se essa corrente circula em um indutor de indutância L, a tensão no mesmo, segundo relações da eletricidade, é dada por:

V = L dI/dt = j ω L Ip ej φ ej ωt. E a impedância é ZL = V/I = L dI/dt = j ω L Ip ej φ ej ωt / [Ip ej φ ej ωt].

Simplificando, ZL = j ω L #C.1#. Ou, para maior clareza,

ZL = 0 + j ω L #C.2#.

Portanto, a impedância complexa de um indutor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a ωL, que é a sua reatância indutiva XL, conforme visto em página anterior. Representação gráfica na Figura 02.

Impedância de um capacitor
Fig 03
Capacitor

No caso do capacitor, a relação entre tensão e corrente pode ser indicada pela fórmula dada na página Correntes alternadas I-30:

I = C dV/dt.

A tensão complexa, V = Vp ejωt, pode ser introduzida nessa fórmula:


I = j ω C Vp ejωt. E a impedância é ZC = V/I = 1 / (j ω C) = − j / (ω C) #D.1#. De forma mais clara,

ZC = 0 − j / (ω C) #D.2#.

Ou seja, a impedância complexa para o capacitor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a −1 / (ω C), que é o negativo da sua reatância capacitiva XC. Ver Figura 03.

Impedância genérica
Fig 04
Caso genérico

Para um circuito qualquer, composto por resistores, indutores e capacitores, é lícito supor que a impedância seja dada por:

Z = R + j X #E.1#. Onde,

R é o resultado da combinação das resistências e X é o resultado da combinação de reatâncias indutivas e capacitivas.

A Figura 04 dá a representação gráfica para esse caso. O valor de X pode ser positivo ou negativo, dependendo da predominância de indutores ou de capacitores.

A igualdade acima (#E.1#) equivale á forma exponencial de #A.2#, Z = (Vp / Ip) e−jφ.

Considerando, sem negrito, Z = Vp / Ip, tem-se

Z = Z e−jφ = R + j X #F.1#.

De acordo com relações de números complexos,

Z2 = R2 + X2 #F.2#.

φ = tan−1 X / R #F.3#. Esse ângulo equivale à diferença de fase entre corrente e tensão.




Impedância complexa (cont)



Na página anterior foram dados os conceitos e desenvolvidas fórmulas para os elementos básicos de circuitos. A tabela #A.1# é um resumo dos resultados obtidos nessa página.

#A.1# Z retang Z exp
Resistor R + j 0 R
Indutor 0 + j ω L ω L ejπ/2
Capacitor 0 − j / (ω C) [ 1/(ω C) ] e−jπ/2
Além do formato em coordenadas retangulares, há uma coluna para o formato exponencial, que pode ser facilmente deduzido a partir dos conceitos de números complexos.

Mais informações sobre números complexos podem ser vistas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Associações de impedâncias
Fig 01
Associações de impedâncias

Com o uso das leis de Kirchhoff, é possível deduzir facilmente que agrupamentos em paralelo e em série de impedâncias têm o mesmo comportamento dos de resistências.

Na associação em paralelo conforme (a) da Figura 01, a impedância equivalente é:

(1/Zeq) = (1/Z1) + (1/Z2) + … + (1/Zn) #B.1#.

Para associação em série conforme (b) da figura, Zeq = Z1 + Z2 + … + Zn #B.2#.



Fasores



Na página anterior foram vistas representações complexas considerando, por simplicidade, ângulo de fase nulo para tensão e qualquer φ para a corrente. Assim, na forma trigonométrica,

v = Vp cos ωt.
i = Ip cos (ωt + φ).

Entretanto, no caso mais genérico, deve ser considerado ângulos de fase para ambas. Supondo x uma grandeza que pode ser tanto tensão quanto corrente, a forma senoidal é dada por:

x = Xp cos (ωt + φ).

Na representação complexa exponencial,

X = Xp ej(ωt + φ) #A.1#. A soma do expoente pode ser separada:

X = Xp e ejωt #A.2#.

Na relação acima, pode-se notar que o termo ejωt é a parte dependente do tempo. Na grande maioria das análises de circuitos CA, há uma freqüência (e, por conseqüência, velocidade angular ω) única para todos os componentes. Seja o exemplo abaixo.

Um laço de circuito tem as tensões V1, V2 e V3 tais que V1 = V2 + V3. Usando a forma #A.2#,

V1p e1 ejωt = V2p e2 ejωt + V3p e3 ejωt.

Assim, esse termo é repetido em todas as parcelas das equações e pode ser suprimido. E a representação complexa da grandeza (tensão ou corrente) fica ainda mais simples:

X = Xp e #B.1#.

Essa forma é denominada fasor para a grandeza X. Portanto, o fasor acima contém apenas informação do valor de pico Xp e do ângulo de fase φ.

É praxe distinguir o fasor através do uso de coordenadas polares com o sinal de ângulo, aqui indicado pela seqüência "/_". Normalmente são usados valores eficazes em lugar dos valores de pico. Unidades de ângulo podem ser graus ou radianos.

• Tensão: Vp/√2 /_φ #C.1#. Exemplo: 120 /_−30° volts.

• Corrente: Ip/√2 /_φ #C.2#. Exemplo: 10 /_π/2 ampères.

Desde que os fasores não têm a variável tempo, os vetores que indicam os números complexos são estáticos e permitem a fácil visualização gráfica das intensidades de tensões e correntes e diferenças de fases entre elas.


Exemplo: Teorema de Thévenin

Com o uso de impedâncias complexas, pode ser aplicado a circuitos AC de forma similar à dos circuitos CC (ver Circuitos elétricos I-80: Correntes contínuas): um circuito de dois terminais de saída como o da Figura 01 equivale à forma simples da Figura 02 com:

Vth = Vab (tensão com os terminais abertos).
Zth = Vth / Icc, onde Icc é a corrente com os terminais em curto.

Nesta análise são usados conceitos e fórmulas, dados na série sobre correntes contínuas, que também são válidos para circuitos AC, como leis de Kirchhoff e divisores de tensão.

Sejam dados os valores numéricos para a Figura 01 (é também usual indicar as impedâncias complexas em coordenadas polares):

Exemplo de circuito
Fig 01
V = 12 V /_ 0 rad.
Z1 = 3 Ω /_ 0,5 rad.
Z2 = 2 Ω /_ 0,5 rad.
Z3 = 3 Ω /_ 0,5 rad.

Sem carga entre os terminais a e b, não há corrente em Z2. Portanto, a tensão é definida pelo divisor de tensão formado por Z1 e Z3.


Vth = V Z3 / (Z1 + Z3) = (12 /_ 0) (3 /_ 0,5) / [ (3 /_ 0,5) + (3 /_ 0,5) ] = 6 V /_ 0 rad.

Equivalente de Thévenin
Fig 02
Com os terminais em curto, a fonte alimenta Z1 em série com a associação paralela Z2 e Z3.

Z2 || Z3 = (Z2 Z3) / (Z2 + Z3).

Z2 || Z3 = (6 /_ 1) / (5 /_ 0,5) = (1,2 /_ 0,5).

Calculando a associação em série, Z1 + (Z2 || Z3) = (4,2 Ω /_ 0,5 rad).

E a corrente na fonte é dada por

I = V / [ Z1 + (Z2 || Z3) ] = (12 /_ 0) / (4,2 /_ 0,5) = (2,8571 /_ −0,5).

Mas essa é a corrente na fonte. Com os terminais em curto, a corrente que passa por eles é a corrente em Z2, que fica em paralelo com Z3. Portanto,

Icc = I Z3 / (Z2 + Z3) = I / (1 + Z2/Z3 ).

Icc = (2,8571 /_ −0,5) / [ (1 /_ 0) + (2 /_ 0,5)/(3 /_ 0,5) ] = (1,7143 /_ −0,5).

Zth = Vth / Icc = (6 /_ 0) / (1,7143 /_ −0,5) = 3,5 Ω /_ 0,5 rad.







Correntes não senoidais

Correntes não senoidais



Quando a forma da corrente elétrica não é senoidal pura, a análise exige em geral o conceito de Série de Fourier. A página desse link dá algumas informações sobre a matéria.

De modo resumido, pode-se dizer que um sinal periódico qualquer pode ser considerado uma soma de senóides: a primeira, de freqüência mais baixa, é denominada fundamental e as seguintes, de freqüências múltiplas inteiras da fundamental, são denominadas harmônicas.

Este tópico dá exemplos de cálculo do valor eficaz de alguns tipos usuais de correntes não senoidais.

Sinal quadrado
Fig 01
Forma quadrada

Para esse tipo de sinal, representado graficamente na Figura 01, não há necessidade de cálculo especial.

Lembrar que o valor eficaz é calculado pela dissipação de potência em um resistor.

Mas a potência dissipada em um resistor independe do sentido da corrente. Desde que, no sinal quadrado, a corrente tem valor absoluto constante e igual a Ip (só o sentido varia), ele pode ser considerado contínuo para efeito de dissipação de potência. Então,

Ie = Ip #A.1#.

Sinal dente de serra
Fig 02
Forma dente de serra

Considerando um ciclo a parte linear entre o menor valor e o maior valor,

i = ( (2 Ip t ) / T ) − Ip = Ip (−1 + 2t/T) #B.1#.

Nessa fórmula, supõe-se tempo inicial nulo, t = 0, no ponto de menor valor.

O valor eficaz é a corrente contínua Ie que dissipa a mesma potência média da corrente i em um resistor genérico de valor R:

(1/T) ∫0,T R Ie2 dt = (1/T) ∫0,T R i2 dt.

Resolvendo a primeira integral e simplificando,

Ie2 = (1/T) ∫0,T i2 dt #C.1#.

Aplicando essa fórmula genérica para o valor de i conforme #B.1#,

Ie2 = (1/T) ∫0,T Ip (−1 + 2t/T)2 dt.

Ie2 = (1/T) Ip2 { ∫0,T dt − (4/T) ∫0,T t dt + (4/T2) ∫0,T t2 dt } = (1/T) Ip2 { T − 2 T + 4 T / 3 } = Ip2 / 3.

Portanto, valor eficaz para a dente de serra da Figura 02:

Ie = Ip / √ 3 #D.1#.

Sinal meia senóide
Fig 03
Forma meia senóide

Série de Fourier para essa forma de onda:

i =
+ (2 Ip / π)
− (4 Ip / 3π) cos 2ωt
− (4 Ip / 15π) cos 4ωt − … #E.1#.

Desde que a contribuição de cada componente para a potência não depende das demais,

(Ie)2 = (Ie0)2 + (Ie1)2 + (Ie2)2 + …

Pode-se observar que apenas o componente fundamental (0) e a primeira harmônica (1) são significativos, sendo as demais de pequeno valor. Resolvendo de acordo com a fórmula anterior, chega-se a

Ie ≈ (2 Ip ) / (π) + (2 √ 2 Ip ) / (3π) #F.1#.

Notar que essa corrente tem um componente DC (primeiro termo do lado direito de #E.1#, 2 Ip /π) e que a sua contribuição está considerada no valor eficaz.

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