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terça-feira, 28 de julho de 2009

Representação complexa para tensão e corrente senoidais

Representação complexa para tensão e corrente senoidais



Em páginas anteriores pode ser visto que a análise de circuitos de corrente alternada com o uso de funções trigonométricas implica equações diferenciais trabalhosas e certa dificuldade de visualização, mesmo nos casos mais simples.

Seja uma tensão senoidal genérica dada pela função co-seno e ângulo de fase (φ) nulo:

v = Vp cos ωt #A.1#.

Seja agora uma tensão fictícia representada pela função seno com os mesmos parâmetros e multiplicada por um fator a qualquer:

a Vp sen ωt #A.2#. Desde que co-seno e seno diferem apenas no deslocamento angular, pode-se supor que a resposta do circuito será na mesma proporção da anterior (#A.1#).

Considerando o princípio da superposição, pode-se também imaginar que essas duas parcelas podem ser somadas e, no resultado, a parcela correspondente a #A.1# pode ser recuperada:

Vp cos ωt + a Vp sen ωt #A.3#. Se ao fator a é atribuída a unidade imaginária (j = √−1), a expressão torna-se um número complexo, que pode ser dado em forma exponencial segundo a relação de Euler:

V = Vp cos ωt + j Vp sen ωt = Vp ejωt #A.4#.

Portanto, a tensão original v (de #A.1#) é a parte real (Re) do número complexo acima, ou seja,

v = Re[ V ] = Re[ Vp ejωt ] #A.5#.

Para a corrente senoidal, o procedimento é similar. Neste caso, é considerado um ângulo de fase φ. A tabela abaixo dá o resumo para ambas.


Forma trigonométrica Forma complexa exponencial
Tensão v = Vp cos ωt V = Vp ejωt #B.1#
Corrente i = Ip cos (ωt + φ) I = Ip ej(ωt + φ) #C.1#

Notar que a suposição de fase nula para tensão e φ para corrente é apenas uma questão de simplicidade. Podem ser perfeitamente considerados valores genéricos para cada (φv e φi, por exemplo).

A vantagem da representação complexa é evidente: operações como multiplicação, divisão, derivação e integração são significativamente mais simples com números complexos na forma exponencial.

Mais informações sobre números complexos podem ser consultadas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.



Impedância complexa



Na forma complexa da corrente alternada senoidal, o parâmetro equivalente à resistência dos circuitos de corrente contínua é denominado impedância complexa Z e é definido como:

Z = V / I #A.1#.

Considerando as formulações do tópico anterior, V = Vp ejωt e I = Ip ej(ωt + φ), a divisão dos números complexos resulta em

Z = (Vp / Ip) e−jφ #A.2#.

Notar que a impedância tem a mesma dimensão da resistência elétrica e que não é dependente do tempo. Nos próximos itens, fórmulas de impedância para os elementos básicos de circuito.

Impedância de um resistor
Fig 01
Resistor

Para um resistor de valor R percorrido por uma corrente I, a tensão é simplesmente

V = R I. Portanto, a impedância é

Z = V / I = R I / I = R #B.1#.

De acordo com a teoria dos números complexos, eles podem ser escritos em coordenadas retangulares na forma:

a + j b, onde a é a parte real e b, a imaginária, que são representadas nos eixos horizontal e vertical respectivamente.

Para maior clareza, pode-se dizer então que a impedância complexa do resistor é

ZR = R + j 0 #B.2#.

Ou seja, é um número complexo com a parte imaginária nula. Graficamente, números complexos podem ser indicados por vetores de componentes iguais às suas partes reais e imaginárias. Ver Figura 01 para esse caso.

Impedância de um indutor
Fig 02
Indutor

Seja uma corrente senoidal na forma complexa de acordo com o tópico anterior:

I = Ip ej(ωt + φ). A soma no expoente pode ser separada:

I = Ip ej φ ej ωt. Se essa corrente circula em um indutor de indutância L, a tensão no mesmo, segundo relações da eletricidade, é dada por:

V = L dI/dt = j ω L Ip ej φ ej ωt. E a impedância é ZL = V/I = L dI/dt = j ω L Ip ej φ ej ωt / [Ip ej φ ej ωt].

Simplificando, ZL = j ω L #C.1#. Ou, para maior clareza,

ZL = 0 + j ω L #C.2#.

Portanto, a impedância complexa de um indutor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a ωL, que é a sua reatância indutiva XL, conforme visto em página anterior. Representação gráfica na Figura 02.

Impedância de um capacitor
Fig 03
Capacitor

No caso do capacitor, a relação entre tensão e corrente pode ser indicada pela fórmula dada na página Correntes alternadas I-30:

I = C dV/dt.

A tensão complexa, V = Vp ejωt, pode ser introduzida nessa fórmula:


I = j ω C Vp ejωt. E a impedância é ZC = V/I = 1 / (j ω C) = − j / (ω C) #D.1#. De forma mais clara,

ZC = 0 − j / (ω C) #D.2#.

Ou seja, a impedância complexa para o capacitor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a −1 / (ω C), que é o negativo da sua reatância capacitiva XC. Ver Figura 03.

Impedância genérica
Fig 04
Caso genérico

Para um circuito qualquer, composto por resistores, indutores e capacitores, é lícito supor que a impedância seja dada por:

Z = R + j X #E.1#. Onde,

R é o resultado da combinação das resistências e X é o resultado da combinação de reatâncias indutivas e capacitivas.

A Figura 04 dá a representação gráfica para esse caso. O valor de X pode ser positivo ou negativo, dependendo da predominância de indutores ou de capacitores.

A igualdade acima (#E.1#) equivale á forma exponencial de #A.2#, Z = (Vp / Ip) e−jφ.

Considerando, sem negrito, Z = Vp / Ip, tem-se

Z = Z e−jφ = R + j X #F.1#.

De acordo com relações de números complexos,

Z2 = R2 + X2 #F.2#.

φ = tan−1 X / R #F.3#. Esse ângulo equivale à diferença de fase entre corrente e tensão.




Impedância complexa (cont)



Na página anterior foram dados os conceitos e desenvolvidas fórmulas para os elementos básicos de circuitos. A tabela #A.1# é um resumo dos resultados obtidos nessa página.

#A.1# Z retang Z exp
Resistor R + j 0 R
Indutor 0 + j ω L ω L ejπ/2
Capacitor 0 − j / (ω C) [ 1/(ω C) ] e−jπ/2
Além do formato em coordenadas retangulares, há uma coluna para o formato exponencial, que pode ser facilmente deduzido a partir dos conceitos de números complexos.

Mais informações sobre números complexos podem ser vistas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Associações de impedâncias
Fig 01
Associações de impedâncias

Com o uso das leis de Kirchhoff, é possível deduzir facilmente que agrupamentos em paralelo e em série de impedâncias têm o mesmo comportamento dos de resistências.

Na associação em paralelo conforme (a) da Figura 01, a impedância equivalente é:

(1/Zeq) = (1/Z1) + (1/Z2) + … + (1/Zn) #B.1#.

Para associação em série conforme (b) da figura, Zeq = Z1 + Z2 + … + Zn #B.2#.



Fasores



Na página anterior foram vistas representações complexas considerando, por simplicidade, ângulo de fase nulo para tensão e qualquer φ para a corrente. Assim, na forma trigonométrica,

v = Vp cos ωt.
i = Ip cos (ωt + φ).

Entretanto, no caso mais genérico, deve ser considerado ângulos de fase para ambas. Supondo x uma grandeza que pode ser tanto tensão quanto corrente, a forma senoidal é dada por:

x = Xp cos (ωt + φ).

Na representação complexa exponencial,

X = Xp ej(ωt + φ) #A.1#. A soma do expoente pode ser separada:

X = Xp e ejωt #A.2#.

Na relação acima, pode-se notar que o termo ejωt é a parte dependente do tempo. Na grande maioria das análises de circuitos CA, há uma freqüência (e, por conseqüência, velocidade angular ω) única para todos os componentes. Seja o exemplo abaixo.

Um laço de circuito tem as tensões V1, V2 e V3 tais que V1 = V2 + V3. Usando a forma #A.2#,

V1p e1 ejωt = V2p e2 ejωt + V3p e3 ejωt.

Assim, esse termo é repetido em todas as parcelas das equações e pode ser suprimido. E a representação complexa da grandeza (tensão ou corrente) fica ainda mais simples:

X = Xp e #B.1#.

Essa forma é denominada fasor para a grandeza X. Portanto, o fasor acima contém apenas informação do valor de pico Xp e do ângulo de fase φ.

É praxe distinguir o fasor através do uso de coordenadas polares com o sinal de ângulo, aqui indicado pela seqüência "/_". Normalmente são usados valores eficazes em lugar dos valores de pico. Unidades de ângulo podem ser graus ou radianos.

• Tensão: Vp/√2 /_φ #C.1#. Exemplo: 120 /_−30° volts.

• Corrente: Ip/√2 /_φ #C.2#. Exemplo: 10 /_π/2 ampères.

Desde que os fasores não têm a variável tempo, os vetores que indicam os números complexos são estáticos e permitem a fácil visualização gráfica das intensidades de tensões e correntes e diferenças de fases entre elas.


Exemplo: Teorema de Thévenin

Com o uso de impedâncias complexas, pode ser aplicado a circuitos AC de forma similar à dos circuitos CC (ver Circuitos elétricos I-80: Correntes contínuas): um circuito de dois terminais de saída como o da Figura 01 equivale à forma simples da Figura 02 com:

Vth = Vab (tensão com os terminais abertos).
Zth = Vth / Icc, onde Icc é a corrente com os terminais em curto.

Nesta análise são usados conceitos e fórmulas, dados na série sobre correntes contínuas, que também são válidos para circuitos AC, como leis de Kirchhoff e divisores de tensão.

Sejam dados os valores numéricos para a Figura 01 (é também usual indicar as impedâncias complexas em coordenadas polares):

Exemplo de circuito
Fig 01
V = 12 V /_ 0 rad.
Z1 = 3 Ω /_ 0,5 rad.
Z2 = 2 Ω /_ 0,5 rad.
Z3 = 3 Ω /_ 0,5 rad.

Sem carga entre os terminais a e b, não há corrente em Z2. Portanto, a tensão é definida pelo divisor de tensão formado por Z1 e Z3.


Vth = V Z3 / (Z1 + Z3) = (12 /_ 0) (3 /_ 0,5) / [ (3 /_ 0,5) + (3 /_ 0,5) ] = 6 V /_ 0 rad.

Equivalente de Thévenin
Fig 02
Com os terminais em curto, a fonte alimenta Z1 em série com a associação paralela Z2 e Z3.

Z2 || Z3 = (Z2 Z3) / (Z2 + Z3).

Z2 || Z3 = (6 /_ 1) / (5 /_ 0,5) = (1,2 /_ 0,5).

Calculando a associação em série, Z1 + (Z2 || Z3) = (4,2 Ω /_ 0,5 rad).

E a corrente na fonte é dada por

I = V / [ Z1 + (Z2 || Z3) ] = (12 /_ 0) / (4,2 /_ 0,5) = (2,8571 /_ −0,5).

Mas essa é a corrente na fonte. Com os terminais em curto, a corrente que passa por eles é a corrente em Z2, que fica em paralelo com Z3. Portanto,

Icc = I Z3 / (Z2 + Z3) = I / (1 + Z2/Z3 ).

Icc = (2,8571 /_ −0,5) / [ (1 /_ 0) + (2 /_ 0,5)/(3 /_ 0,5) ] = (1,7143 /_ −0,5).

Zth = Vth / Icc = (6 /_ 0) / (1,7143 /_ −0,5) = 3,5 Ω /_ 0,5 rad.







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