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terça-feira, 28 de julho de 2009

Fasores - Exemplos de cálculo

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Exemplo 01:

Determinar a corrente do circuito da Figura 01, considerando os parâmetros informados.

Solução:

Circuito CA em série
Figura 01
A tensão da fonte AC é

V = 5 V .

Freqüência f = 120 Hz. Portanto, velocidade (ou freqüência) angular é dada por:

ω = 2 π f ≈ 753,6 rad/s.


Cada elemento tem sua impedância, conforme Figura 02.

Impedâncias em série
Figura 02
Z1 = 5 + j 0.

Z2 = 0 + j ω L ≈ 0 + j 3,77.

Z3 = 0 − j / (ωC) ≈ 0 − j 132,7.

Z4 = 10 + j 0.

Z = ∑ Zi ≈ 15 − j 128,9.


Convertendo para coordenadas polares, Z ≈ 129,8 −83º.

Corrente I = V = 5 ≈ 0,0385 83º .
Z 129,8 −83º


Exemplo 02 (fonte: prova PF 1997, com adaptações): são dados os valores para o circuito da Figura 03.

R    = 40 ohms.
L = 10 henrys.
C = 0,02 farad.
v(t) = 800 cos 5t volts.

A corrente estacionária nesse circuito é:

(a) i = cos 5t + 2 sen 5t.
(b) i = 10 (cos 5t + sen 5t).
(c) i = [exp(−2t)] (sen 5t).
(d) i = [exp(−3t)] (10 sen 5t − 4 cos 5t).

Solução:

A partir do valor dado, v(t) = 800 cos 5t, são deduzidos:

ω = 5 rad/s.
V = 800 V 0°.

Circuito RLC série
Figura 03
As impedâncias são calculadas:

ZR = 40 + j 0.
ZL = 0 + j ω L = 0 + j 5 10 = 0 + j 50.
ZC = 0 − j / (ωC) = 0 − j / (5 0,02) = 0 − j 10.

A impedância total é

Z = Σ Zi = 40 + j 40. Determinando as coordenadas polares,

r = √(402 + 402)  = 40 √2
φ = tan−1 (40/40) = 45°

Portanto, Z = 40 √2 45°

E a corrente é dada por I = V = 800 = 10 √2 −45°
Z 40 √2 45°

Na forma trigonométrica, considerando o valor de ω anterior, a corrente é

i(t) = 10 √2 cos(5t − 45).

Para uma solução em conformidade com alternativas apresentadas, deve-se usar a relação matemática:

M cos(ωt + φ) = A cos(ωt) − B sen(ωt). Onde:
A = M cos φ
B = M sen φ

Calculando para o valor de i(t) anterior,

A = 10 √2 cos(− 45°) = 10 √2 √2 / 2     =  10
B = 10 √2 sen(− 45°) = 10 √2 (− √2 / 2) = −10

Substituindo esses valores,

i(t) = 10 √2 cos(5t − 45) = 10 cos 5t + 10 sen 5t = 10 (cos 5t + sen 5t).

Resposta: Alternativa (b).

Notar que, numa prova real, a questão pode ser respondida sem todos esses cálculos. Nas alternativas (c) e (d), em razão das exponenciais, as amplitudes diminuem com o tempo e elas não podem ser correntes estacionárias. Verificando rapidamente que a diferença entre as reatâncias indutiva e capacitiva é 40 e que a resistência também é 40, conclui-se que a impedância complexa deve ter um ângulo de 45º. Assim, a corrente será defasada desse valor e, segundo a relação matemática anterior, isso só pode ocorrer se os coeficientes do seno e do co-seno forem iguais, o que é atendido pela alternativa (b).


Exemplo 03 (fonte: Inmetro 2007, com adaptações):

O circuito elétrico abaixo é alimentado por uma fonte de tensão senoidal cuja freqüência angular é igual a ω. Considerando que esse circuito funcione em regime permanente, julgue os itens subseqüentes.

110) Caso a freqüência angular da tensão seja igual a 20 rad/s, a impedância equivalente nos terminais da fonte, nessa freqüência angular, será composta de uma resistência igual a 10 Ω e de uma reatância indutiva também de valor igual a 10 Ω.

Circuito RL
Figura 01
As impedâncias são:

ZR = 10 + j 0
ZL = 0 + j ω 0,5

Se ω = 10 rad/s, os módulos das impedâncias são:

ZR = 10 Ω e ZL = 10 Ω , que são, respectivamente, a resistência e a reatância indutiva. Resposta: Certo.


111) Caso a amplitude da tensão da fonte seja igual a 100 V e a freqüência angular seja finita e diferente de zero, circulará pelo circuito corrente cuja fase estará sempre adiantada em relação à fase da tensão.

A impedância total é Z = ZR + ZL = 10 + j ω 0,5. Em termos de fasor,

Z = Z  φ, onde:
Z = √[102 + (ω 0,5)2]
φ = tan−1 (ω 0,5 / 10)

Considerando, por exemplo, a tensão da fonte V α, a corrente será:

I = V = V α = (V/Z) (α−φ) , de acordo com as regras para divisão de números complexos.
Z Z φ

Considerando que φ é positivo porque ω é sempre positivo, o ângulo de fase da corrente será menor que o da tensão e, portanto, ela estará atrasada. Resposta: Errado.

Notar que essa condição não depende de um valor particular da tensão, como pode sugerir o enunciado do problema.


112) A relação entre a magnitude da tensão da fonte e a magnitude da corrente no circuito varia linearmente com a freqüência da fonte.

Nas igualdades anteriores, pode-se notar que o módulo da impedância não tem relação linear com a freqüência angular ω. Resposta: Errado.

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