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quarta-feira, 29 de julho de 2009

Correntes trifásicas - Introdução



Segundo teoria do eletromagnetismo, uma tensão alternada de velocidade angular ω pode ser produzida por uma espira (ou bobina de N espiras) que gira com mesma velocidade angular em um campo magnético uniforme. Naturalmente, a recíproca também é verdadeira, isto é, a bobina pode estar fixa e o campo magnético, girante.

Geração simplificada de corrente trifásica
Fig 01
Seja um arranjo conforme (a) da Figura 01: um ímã permanente gira com velocidade angular constante ω no interior de um anel circular de material magnético. Em torno do anel, há três bobinas idênticas deslocadas de 120° uma da outra.

Nessa situação, em cada bobina são induzidas tensões alternadas de mesma amplitude e mesma velocidade angular (ou mesma freqüência).

Eletricamente, podem ser vistas como três fontes de tensão CA, como em (b) da figura.

Entretanto, devido ao deslocamento angular de 120° das bobinas, as tensões geradas têm idênticas diferenças de fase. Considerando fase nula a tensão vA, pode-se escrever as relações básicas:

Tensões trifásicas
Fig 02
vA = Vp cos (ωt).
vB = Vp cos (ωt − 120).
vC = Vp cos (ωt − 240) #A.1#.

Onde Vp é o valor de pico (é também usual a designação de valor máximo Vm).

As tensões geradas têm, portanto, a forma de senóides de mesma amplitude e deslocadas de 120° no eixo horizontal conforme representação gráfica em (a) da Figura 02.

Considerando V o valor eficaz, isto é, V = Vp/√2, a representação com fasores das tensões geradas é:

VA = V /_ 0° VB = V /_ −120° VC = V /_ −240° #B.1#

Em termos de vetores, os fasores acima são representados na Figura 02 (b). Pode-se facilmente deduzir que a soma dessas tensões é nula em cada instante.

VA + VB + VC = 0.

A seqüência de fases é definida pela ordem de passagem das tensões pelo valor de pico. No exemplo dado, a seqüência ABC (que também pode ser BCA e CAB) é denominada seqüência direta (ou positiva) porque os valores máximos ocorrem nessa ordem. O contrário ACB (que também pode ser CBA ou BAC) é denominado seqüência inversa (ou negativa).

Aqui foi apresentado, portanto, o processo básico de produção de tensões (e, por conseqüência, correntes) alternadas trifásicas.

A geração e a distribuição de energia elétrica é feita quase sempre com correntes alternadas por motivos bem conhecidos. Máquinas (geradores e motores) são mais simples e os níveis de tensões e correntes podem ser facilmente ajustados por meio de transformadores de forma a minimizar as perdas de transmissão.

O uso de correntes trifásicas em vez de uma fase simples torna o sistema ainda melhor. A quantidade (massa) total de material condutor é menor para a mesma potência transmitida por uma corrente monofásica. Motores trifásicos têm torque de partida não nulo, dispensando dispositivos especiais como capacitores. A potência instantânea entregue pelas três fases é constante. Esses são provavelmente os aspectos determinantes para o uso de sistemas de geração e distribuição trifásicos.

Conforme já comentado, pode-se considerar o gerador trifásico um conjunto de três fontes com diferenças de fase de 120° entre si. Por outro lado, pode-se também supor que as cargas trifásicas sejam equivalentes a três cargas simples. Genericamente, três impedâncias. Nos próximos tópicos são examinadas as configurações básicas dos circuitos trifásicos comuns.

Obs: salvo indicação em contrário, os sistemas são presumidamente simétricos e equilibrados, isto é, as tensões de cada fase têm o mesmo valor de pico e mesma diferença de fase (120°) e as impedâncias de carga para cada fase são iguais. Os condutores são supostamente ideais, sem resistências elétricas, indutâncias ou capacitâncias.


Circuito trifásico em estrela ou Y



No circuito em estrela (ou Y) as fontes de cada fase (e impedâncias da carga) são conectadas a um nó comum denominado neutro, resultando em um arranjo físico que lembra o seu nome. A Figura 01 dá o exemplo da ligação em Y de fontes e cargas.

O ponto comum é denominado neutro (N e N'). Desde que o circuito é supostamente simétrico e equilibrado, pode-se em princípio deduzir que o potencial de ambos é igual e, portanto, não há corrente entre eles. Assim, a ligação dos pontos neutros é teoricamente desnecessária.

Nos circuitos trifásicos são comuns as designações:

• Tensões ou correntes de fase são as tensões entre terminais dos elementos (fontes ou cargas) ou as correntes que circulam por eles.

• Tensões ou correntes de linha são as tensões entre os condutores de interligações ou as correntes que circulam por eles.

A tabela abaixo mostra os símbolos aqui usados para a ligação Y-Y da Figura 01.

Fonte - Valores de fase Valores de linha Carga - Valores de fase
Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente
VAN IAN VAB IA VA'N' IA'N'
VBN IBN VBC IB VB'N' IB'N'
VCN ICN VCA IC VC'N' IC'N'

Observar que são usados símbolos em negrito, significando tensões e correntes complexas ou fasores. Embora, devido ao sistema equilibrado, tensões ou correntes eficazes sejam as mesmas para cada fase, na notação complexa elas são diferentes porque há uma diferença de fase de 120°.

De acordo com os conceitos dados na página anterior, considerando V o valor eficaz comum, as tensões das fontes são:

VAN = V /_ 0° VBN = V /_ −120° VCN = V /_ 120° #A.1#

As tensões acima são, evidentemente, as tensões aplicadas às respectivas impedâncias de carga.

Ligação trifásica em estrela ou Y
Fig 01
As tensões de linha são calculadas pelas somas:

VAB = VAN + VNB #B.1#.
VBC = VBN + VNC #B.2#.
VCA = VCN + VNA #B.3#.

Consideram-se as relações:

VNB = − VBN #C.1#.
VNC = − VCN #C.2#.
VNA = − VAN #C.3#.


Substituindo, nas relações acima, os valores dados em #A.1#, chega-se aos resultados:

Tensões de linha e de fase na ligação Y
Fig 02
VAB = √3 V /_ 30° #D.1#.
VBC = √3 V /_ −90° #D.2#.
VCA = √3 V /_ 150° #D.3#.

Comparando com os valores de #A.1#, pode-se escrever a relação prática usual para circuitos em estrela:

tensão de linha = √3 tensão de fase #E.1#.

Entretanto, essa relação só vale para valores eficazes ou de pico.

A Figura 02 mostra as somas gráficas para os resultados anteriores (#D.1#, #D.2# e #D.3#). As tensões de linha são deslocadas de 30° em relação às de fase.

O arranjo do circuito permite concluir que as correntes de linha são iguais às respectivas correntes de fase. Com as relações #A.1#, pode-se montar a tabela abaixo.

IA = (V /_ 0°) / Z IB = (V /_ −120°) / Z IC = (V /_ 120°) / Z #F.1#

A corrente do neutro pode ser calculada por

IN = IA + IB + IC = [ (V /_ 0°) + (V /_ −120°) + (V /_ 120°) ] / Z.

Mas a soma entre os colchetes é a soma das tensões das fontes (#A.1#), que é nula conforme visto na página anterior. Assim, IN = 0, confirmando a suposição do início deste tópico.


Circuito trifásico em triângulo ou Δ



A Figura 01 dá exemplo do arranjo básico, cuja forma geométrica justifica o nome. Os conceitos de tensões e correntes de fase e de linha são os mesmos já informados para a configuração Y em página anterior. A tabela abaixo dá os símbolos usados para o circuito em estudo.

Fonte - Valores de fase Valores de linha Carga - Valores de fase
Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente
VAB IAB VAB IA VA'B' IA'B'
VBC IBC VBC IB VB'C' IB'C'
VCA ICA VCA IC VC'A' IC'A'

Segundo hipótese já mencionada, o circuito é considerado simétrico e equilibrado, sendo V o valor eficaz comum para as tensões das fontes. Portanto, em termos de fasores, as tensões de fase são:

VAB = V /_ 0° VBC = V /_ −120° VCA = V /_ 120° #A.1#

Observa-se claramente que, nesta configuração, as tensões de linha são iguais às respectivas tensões de fase.

As correntes de linha são determinadas com a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff em cada nó de um lado (fonte, por exemplo):

Circuito trifásico em triângulo ou delta
Fig 01
IA = IAB − ICA #B.1#.
IB = IBC − IAB #B.2#.
IC = ICA − IBC #B.3#.

São consideradas as relações:

IAB = VAB / Z #C.1#.
IBC = VBC / Z #C.2#.
ICA = VCA / Z #C.3#.

Substituindo esses valores nas igualdades anteriores e usando as tensões de fase dadas em #A.1#, os resultados das operações dos números complexos para as correntes de linha são:

Correntes de linha e de fase na ligação delta
Fig 02
IA = (√3 V /_ −30°) / Z #D.1#.
IB = (√3 V /_ −150°) / Z #D.2#.
IC = (√3 V /_ 90°) / Z #D.3#.

Substituindo os valores de #A.1# nas igualdades #C.1# a #C.3# das correntes de fase,

IAB = (V /_ 0°) / Z #E.1#.
IBC = (V /_ −120°) Z #E.2#.
ICA = (V /_ 120°) Z #E.3#.

Portanto, na ligação triângulo ou delta, as correntes de linha são deslocadas de −30° em relação às correntes de fase. Isso pode ser observado na soma gráfica para as correntes de linha conforme Figura 02.

Comparando as igualdades #D.1# a #D.3# com #E.1# a #E.3#, pode-se dizer que um sistema trifásico simétrico e equilibrado em ligação delta apresenta, em termos de valores eficazes ou de pico,

corrente de linha = √3 corrente de fase.

As tensões de linha são idênticas às respectivas tensões de fase conforme já mencionado.


Potência em sistemas trifásicos



Seja um circuito monofásico com tensão e corrente dadas por:

v(t) = Vp cos (ωt) #A.1#.
i(t) = Ip cos (ωt + θ) #A.2#.

Sejam os valores eficazes:

V = Vp / √2 #B.1#.
I = Ip / √2 #B.2#.

Substituindo,

v(t) = √2 V cos (ωt) #C.1#.
i(t) = √2 I cos (ωt + θ) #C.2#.

A potência instantânea é calculada por:

P(t) = i(t) v(t) = 2 V I cos (ωt) cos (ωt + θ) #D.1#.

Aplicando a identidade trigonométrica cos a cos b = (1/2) cos(a − b) + (1/2) cos(a + b),

P(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + θ) #E.1#.

Considera-se agora um sistema trifásico equilibrado. As tensões de fase são:

Va = V /_ 0° Vb = V /_ −120° Vc = V /_ 120° #F.1#

Na forma trigonométrica,

va(t) = Vp cos(ωt + 0) vb(t) = Vp cos(ωt − 120) vc(t) = Vp cos(ωt + 120) #F.2#

Desde que o circuito é equilibrado, a mesma impedância Z está em cada fase. Assim, deve ser considerado o mesmo ângulo θ para as correntes:

ia(t) = Ip cos(ωt + 0 + θ) ib(t) = Ip cos(ωt − 120 + θ) ic(t) = Ip cos(ωt + 120 + θ) #F.2#

Considerando as igualdades #A.1# e #A.2#, pode-se calcular a potência instantânea P(t) para cada fase segundo #E.1#. Notar que o termo (ωt) equivale a:

(ωt + 0) para fase a.
(ωt − 120) para fase b.
(ωt + 120) para fase c.

Pa(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + θ).
Pb(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt − 240 + θ).
Pb(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + 240 + θ).

A potência instantânea total é a soma das parcelas acima:

P(t) = 3 V I cos θ + V I [ cos(2ωt + θ) + cos(2ωt − 240 + θ) + cos(2ωt + 240 + θ) ] #G.1#.

Para a expressão entre colchetes, faz-se α = 2ωt + θ. Assim, ela é igual a

cos(α) + cos(α − 240) + cos(α + 240).

Segundo relações trigonométricas,

cos(α − 240) = cos α cos 240 + sen α sen 240.
cos(α + 240) = cos α cos 240 − sen α sen 240.

Substituindo, cos(α) + cos α cos 240 + sen α sen 240 + cos α cos 240 − sen α sen 240 =
= cos(α) + 2 cos α cos 240 = cos(α) + 2 cos α (−0,5) = 0.

Portanto, a igualdade #G.1# fica reduzida a

P(t) = 3 V I cos θ #H.1#.

Conclui-se então que, no sistema trifásico simétrico e equilibrado, a potência instantânea é constante, não depende do tempo.

A tabela abaixo é repetição da anterior (#F.1#) com introdução da notação exponencial.

Va = V /_ 0° Vb = V /_ −120° Vc = V /_ 120° #I.1#
Va = V ej(0) Vb = V ej(−120) Vc = V ej(120) #I.2#

Para as correntes, o procedimento é similar, devendo ser considerado o ângulo θ de defasagem. Há também uma linha para o complemento complexo.

Ia = I /_ 0° + θ Ib = I /_ −120° + θ Ic = I /_ 120° + θ #J.1#
Ia = I ej(0 + θ) Ib = I ej(−120 + θ) Ic = I ej(120 + θ) #J.2#
Ia* = I ej(0 − θ) Ib* = I ej(120 − θ) Ic* = I ej(−120 − θ) #J.3#

A potência complexa de um circuito CA é S = V I*. Para as três fases, usando os valores das tabelas acima, o resultado da soma é

S = Sa + Sb + Sc = 3 V I e.

Obs: φ = 0 − θ (diferença de fase entre tensão e corrente).

Portanto, a potência aparente de um sistema trifásico é

S = 3 V I #K.1#. Onde V e I são os valores eficazes de tensão e corrente de fase.

Entretanto, medições práticas são feitas em geral para tensões e correntes de linha. Para a ligação Y, já visto que a corrente de linha é igual à de fase e que a tensão de linha é igual à de fase multiplicada por √3. Para a ligação Δ, a tensão de linha é igual à de fase e a corrente de linha é igual à de fase multiplicada por √3.

Então, se considerados parâmetros de linha para #K.1#, haverá sempre uma divisão por √3 para ambas as situações. E a potência aparente fica

S = √3 V I #K.2#. Onde V e I são os valores eficazes de tensão e corrente de linha.

Consideram-se as relações da potência complexa,

S = V I* = V I cos φ + j V I sen φ = P + j Q. Onde P é potência ativa e Q é potência reativa.

Combinando com #K.2#, obtém-se, conforme tabela abaixo, as fórmulas de potência para circuitos trifásicos.

Potência aparente Potência ativa Potência reativa
S = √3 V I P = √3 V I cos φ Q = √3 V I sen φ #L.1#

Para circuito simétrico e equilibrado. Onde V e I são valores eficazes de tensão e corrente de linha. O ângulo φ é a diferença de fase entre tensão e corrente. Portanto, cos φ é o fator de potência.


Exemplo: uma rede trifásica simétrica de tensão de linha 173 V (valor eficaz) alimenta uma carga trifásica em Y com impedância 10 Ω /_ 20° por fase. Determinar os valores de potência conforme tabela acima.

Tensão de fase = 173 / √3 ≈ 100 V.

Corrente de fase = 100 / 10 = 10 A = corrente de linha.

Fator de potência cos φ = cos 20° ≈ 0,94. E sen φ ≈ 0,34.

Potência aparente S = √3 173 10 ≈ 3 kVA.

Potência ativa P = √3 173 10 0,94 ≈ 2,82 kW.

Potência reativa Q = √3 173 10 0,34 ≈ 1,02 kVAR.

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